Étude des instabilités non linéaires autour de solutions laminaires de systèmes d’EDP de la mécanique des fluides ou des modèles de propagation en biologie

Study of nonlinear instabilities around laminar solutions of PDE systems in fluid mechanics or propagation models in biology

• Auteur / Autrice : Tien Tai Nguyen
• Direction : Olivier Lafitte, Jean-Marc Delort
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2022
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Isabelle Gallagher, Francis Nier, David Gérard-Varet, Emmanuel Audusse, Anna Rozanova-Pierrat, Quoc Anh Ngo
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Isabelle Gallagher, David Lannes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Spectroscopie

Turbulence

Mécanique des fluides

Mots clés libres

L'instabilité de Rayleigh-Taylor

Analyse spectrale

Méthode de l'opérateur

Rayleigh-Taylor instability

Spectral analysis

Operator method

Résumé

L’étude de la stabilité des écoulements laminaires satisfaisant un système d’équations hyperboliques a beaucoup attiré l’attention des physiciens et des mathématiciens en raison de son apparition dans de nombreux modèles en mécanique des fluides, par ex. Rayleigh-Taylor, Kelvin-Hemholtz, détonation de Zeldovitch-von Neumann-D ̈oring. En particulier, l’existence de modes normaux pour les problèmes linéarisés autour de ces écoulements stationnaires a conduit à de nombreux résultats théoriques et numériques. Pendant ce temps, l’utilisation des résultats d’instabilité linéaire pour obtenir des résultats d’instabilité non linéaire est un défi mathématique en raison du manque d’informations sur le spectre complet du problème linéarisé. Différents cadres abstraits sont développés pour prouver l’instabilité non linéaire avec des applications à divers systèmes non linéaires en mécanique des fluides. Dans cette thèse, nous nousintéressons à un modèle particulier, l’instabilité visqueuse de Rayleigh–Taylor pour un profil lisse de densité croissante. Le premier objectif est de décrire et d’utiliser une nouvelle méthode, basée sur la théorie des opérateurs, pour prouver l’existence de multiples modes normaux au problème linéarisé. Ces multiples modes normaux, ainsi que les estimations d’énergie non linéaires, nous aident à prouver une instabilité non linéaire générale, étendant un cadre célèbre de Guo et Strauss et de Grenier. Il semble pertinent d’appliquer cette méthode à d’autres systèmes non linéaires, notamment le model de bi-fluid ou les équations de détonation de Zeldovitch-von Neumann-D ̈oring (généralisant les résultats semi-classiques du problème linéarisé déjà connus).

The study of the stability of laminar flows satisfying a system of hyperbolic equa- tions has attracted a lot of attention of physicians and mathematicians due to its appearance in numerous models in fluid mechanics, e.g. Rayleigh-Taylor, Kelvin- Hemholtz, Zeldovitch-von Neumann-Do ¨ring detonation. In particular, the existence of normal modes for the linearized problems around this steady flows led to many theoretical and numerical results. Meanwhile, using the linear instability results to obtain nonlinear instability results is a mathematical challenge because of the lack of information about the complete spectrum of the linearized problem. Different abstract frameworks are developed to prove the nonlinear instability with applications to various nonlinear systems in fluid mechanics. In this thesis, we are interested in a particular model, the viscous Rayleigh-Taylor instability for a smooth increasing density profile. The first goal is to describe and use a new method, based on the operator theory, to prove the existence of multiple normal modes to the linearized problem. These multi- ple normal modes, along with nonlinear energy estimates, help us to prove a general nonlinear instability, extending the previous framework of Guo-Strauss and of Grenier. It seems relevant to apply that method to other nonlinear systems, including the two- fluid model or the Zeldovitch-von Neumann-Do ¨ring detonation equations (generalizing the semi-classical results of the linearized problem already known)