Contribution à la théorie dimensionnelle de tapis et d'éponges auto-affines en loi ou invariants par multiplication par certains semi-groupes d’entiers

Contribution to the dimensional theory of statistically self-affine carpets and sponges or invariant under the action of multiplicative integers

• Auteur / Autrice : Guilhem Brunet
• Direction : Julien Barral
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2022
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Peyrière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques Peyrière, Meng Wu, Kenneth J. Falconer, Stéphane Seuret, Bénédicte Haas, Valérie Berthé
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Meng Wu, Kenneth J. Falconer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multifractales

Théorie ergodique

Fractales

Mots clés libres

Dimension de Hausdorff

Dimension de Minkowski

Dynamique symbolique

Hausdorff dimension

Minkowski dimension

Symbolic dynamics

Résumé

La géométrie fractale, qui entretient des liens étroits avec la théorie ergodique et la théorie des probabilités, est un sujet très dynamique à l’échelle internationale. Un grand intérêt se porte naturellement sur les ensembles et mesures auto-similaires ou auto-affines. Le cadre aléatoire a été beaucoup étudié s’agissant des ensembles autosimilaires en loi, mais peu est connu dans le cas auto-affine en loi qui fera l’objet de cette thèse, plus spécifiquement consacrée aux ensembles de type ‘tapis’ (dans R^2) ou ‘éponges’ (en dimension supérieure) pour lesquels des développement récents touchant à la fois aux cadres déterministe et aléatoire rendent possibles de nouvelles avancées. La motivation de cette thèse provient d’une part d’un résultat spectaculaire récent dû à Dan et Simmons affirmant que pour certains répulseurs non conformes, de type éponge de Baranski dans les espaces euclidiens de dimension au moins 3, leur dimension de Hausdorff n’est pas égale comme c’est le cas en dimension 2 à leur dimension dynamique, et d’autre part d’un travail de Barral et Feng où l’on parvient à développer une théorie dimensionnelle des éponges de Sierpinski auto-affines en loi en dimension au moins 3 également; leur structure est bien plus riche que celle de leur version déterministe. On souhaite maintenant, en commençant par la dimension 2, traiter le cas des tapis et éponges de type Baranski auto-affines en loi, structurellement plus complexes encore. On s’intéressera également naturellement à l’analyse multifractale des mesures auto-affines en loi (ou mesures de Mandelbrot) sur ce type de tapis. Là, le terrain est vierge dans le cas aléatoire, et n’est compris dans le cas déterministe que pour les tapis de Sierpinski. On commencera donc naturellement par le cas des mesures de Mandelbrot sur un tapis de Sierpinski auto-affine.

In this thesis, we compute the Hausdorff dimension and the Minkowski dimension of several classes of deterministic and random fractals. Firstly, we study the class of deterministic Baranski carpets, which are a generalization of Sierpinski carpets, the latter being well known since the work of Bedford, McMullen, Kenyon and Peres. We propose here a new approach to obtain a variational principle with respect to Bernoulli measures, which we use to compute the Hausdorff dimension of theses carpets. Then we study the dimensions of random Baranski carpets; this complements results from Lalley and Gatzouras (who studies random Sierpinski carpets) and results from Barral and Feng (who studies random Sierpinski sponges). Our results also allow us to give some formulas for the Hausdorff dimension of some related fractals, namely Lalley-Gatzouras carpets. Finally, we study the case of dimension d > 2, which is trickier as shown recently by Das and Simmons in the deterministic situation. We study the dimension of inhomogeneous Mandelbrot measures on a random Baranski sponge and we propose a variational principle that gives the Hausdorff dimension of these sponges.In the second part of this thesis, we build a dimensional theory for a class of sponges that are invariant under the action of the semigroup of multiplicative integers. This generalizes the work of Kenyon, Peres and Solomyak, who studied the same type of fractals in the unidimensional case. We state a new variational principle over a class of measures introduced by these three authors to compute the Hausdorff dimension of these objects.