Irréductibilité des objets combinatoires : probabilité asymptotique et interprétation
Auteur / Autrice : | Khaydar Nurligareev |
Direction : | Lionel Pournin |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 20/10/2022 |
Etablissement(s) : | Paris 13 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire informatique de Paris-Nord (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 2001-....) |
Jury : | Président / Présidente : Olivier Bodini |
Examinateurs / Examinatrices : Olivier Bodini, Sylvie Corteel, Igor Pak, Marthe Bonamy, Thierry Monteil, Jason P. Bell | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvie Corteel, Igor Pak |
Résumé
Dans notre recherche, nous traitons de divers objets combinatoires. Certains d'entre eux sont irréductibles, d'autres sont construits à partir d'irréductibles, soit en utilisant des constructions combinatoires dans la méthode symbolique, soit à l'aide de la composition dans la théorie des espèces. Nous nous intéressons à la probabilité qu'un objet combinatoire aléatoire soit irréductible, lorsque sa taille tend vers l'infini. Dans cette thèse, nous obtenons l'expansion asymptotique complète de la probabilité demandée à l'aide d'outils généraux qui s'appliquent à tous les objets combinatoires considérés, à la fois en termes de méthode symbolique et de théorie des espèces. Nous montrons que cette expansion a une certaine structure, ce qui nous permet de nous assurer que les coefficients asymptotiques ont une signification combinatoire. De plus, nous fournissons un moyen d'obtenir la probabilité asymptotique qu'un objet combinatoire aléatoire ait un nombre donné de composantes irréductibles et d'indiquer la signification combinatoire des coefficients impliqués dans les expansions asymptotiques. Enfin, nous appliquons la méthode développée à certaines classes combinatoires particulières et établissons des liens entre elles. Ainsi, nous établissons les expansions asymptotiques pour les probabilités qu'un graphe aléatoire soit connecté, qu'un tournoi aléatoire soit irréductible, qu'une permutation aléatoire soit indécomposable et qu'une surface à petits carreaux aléatoire soit connectée. Ces résultats sont immédiatement généralisés aux multigraphes, aux multitournois, aux multipermutations, aux constellations et à plusieurs autres modèles de surfaces. Nous étudions également par une approche différente mais étroitement liée la probabilité qu'un graphe orienté aléatoire soit fortement connexe et le modèle Erdös-Rényi des graphes aléatoires.