Stabilité et homologie de factorisation équivariante

Equivariant stabilization and factorization homology

• Auteur / Autrice : Aleksandar Miladinovic
• Direction : Yonatan Harpaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/07/2022
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Christian Ausoni
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marco Robalo, Grégory Ginot, Muriel Livernet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clark Barwick

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Factorisation

Mots clés libres

Théorie de l'homotopie équivariante

Théorie des catégories supérieures

Algèbre supérieure

Equivariant homotopy

Theory

Higher category theory

Résumé

L'objectif de cette thèse est de contribuer à l'étude de la théorie de l'homotopie équivariante. Il se compose de trois parties. Dans la première partie, nous prouvons que la stabilisation de l'infinie catégorie des G-espaces par rapport aux sphères de représentation est équivalente à l'infinie catégorie des G-spectres, où G est un groupe de Lie compact. L'infinie catégorie des G-espaces est obtenue via la structure de modèle standard sur la catégorie des G-espaces, tandis que l'infinie catégorie des G-spectres est acquise à partir de la structure du modèle stable. En fait, on prouve que ces catégories sont présentables, donc on montre l'équivalence des infinie catégories présentables. Dans la deuxième partie, nous utilisons la théorie paramétrée des catégories supérieures pour construire la version équivariante de l'homologie de factorisation. Il existe déjà une construction de homologie de factorisation équivariante pour les variétés avec l'action d'un groupe fini, que nous étendons aux variétés avec l'action d'un groupe de Lie compact à stabilisateurs finis. Dans la troisième partie, nous développons la théorie des approximations des infinie opérades paramétrées lorsque la paramétrisation est faite par rapport à l'infinie catégorie des G-espaces transitifs (i.e. les orbites) avec des stabilisateurs finis, où G est un groupe de Lie compact. Nous utilisons cette théorie pour prouver que l'infinie catégorie des G-disques est librement générée par l'infinie catégorie des H-disques avec un cadrage approprié sur les G-disques et les H-disques, où H < G est un sous-groupe fini.

The aim of this thesis is to contribute to the study of the equivariant homotopy theory. Itconsists of three parts.In the first part we prove that the stabilization of the infinity category of G-spaces with respect tothe representation spheres is equivalent to the infinity category of G-spectra, where G is a compact Liegroup. The infinity category of G-spaces is obtained via the standard model structure on the categoryof G-spaces while the infinity category of G-spectra is acquired from the stable model structure. Infact, we prove that these categories are presentable, hence, we show the equivalence of presentableinfinity categories. In the second part we use the parametrized higher category theory to construct the equivariant version of the factorization homology. There already exists a construction of genuine equivariant factorization homology for manifolds with an action of a finite group, which we extend to the manifolds with an action of a compact Lie group with finite stabilizers. In the third part, we develop the theory of approximations to parametrized infinity operads when the parametrization is done with respect to the infinity category of transitive G-spaces (i.e. orbits) withfinite stabilizers, where G is a compact Lie group. We use this theory to prove that the infinity categoryof G-discs is freely generated by the infinity category of H-discs with suitable framing on both G-discsand H-discs, where H < G is a finite subgroup