Distribution de valeurs de la fonction zeta de Riemann

Distribution of values of the Riemann zeta function

• Auteur / Autrice : Zikang Dong
• Direction : Jie Wu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/06/2022
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....) - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Royer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jie Wu, Christoph Aistleitner, Youness Lamzouri, Gautami Bhowmik
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christoph Aistleitner, Youness Lamzouri

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions zêta

Mots clés libres

Fonction zêta de Riemann

Distribution

Valeurs extrêmes

Riemann zeta function

Distribution

Extreme values

Résumé

L’étude de la distribution de la valeur de la fonction zêta de Riemann DOLzeta(s)DOL remonte au début du XXe siècle lorsque Bohr a montré que pour tout DOLzinC^*DOL et DOLvarepsilon>0DOL,il existe une infinité de DOLsDOL avec DOL1<re s<1+varepsilonDOL tels que DOLzeta(s)=zDOL. Plus tard en 1932, Bohr et Jessen ont montré que DOLlogzeta(sigma+{rm i} t)DOL a une distribution continue sur le plan complexe pour tout DOLsigma>frac{1}{2}DOL. Jusqu’à présent, un certain nombre de théories ont été développées. Sur la ligne critique, le théorème de la limite centrale de Selberg indique que le logarithme de Riemannfonction zeta DOLlog|zeta(frac12+i t)|DOL se comporte comme un complexeVariable aléatoire gaussienne de moyenne 0 et variance DOLfrac12log_2TDOL comme DOLTtoinftyDOL, où DOLtDOL varie en DOL[T,2T]DOL. Sur la ligne 1, Granville et Soundararajan ont établi la distribution de DOL|zeta(1+i t)|DOL, qui est asymptotiquement une fonction à double exposant. Dans la bande critique DOLfrac12<re s<1DOL, Lamzouri a étudié la distribution de DOLlog|zeta(sigma+i t)|DOL avec n’importe quel DOLfrac12<sigma<1DOL fixe et a également obtenu la fonction de distribution asymptotique.Sur la base des résultats établis séparément par Granville et Soundararajan et Lamzouri , nous obtenons des expansions d’ordre supérieur dans les exposants de ces deux fonctions de distribution.Le problème d’obtenir de grandes valeurs de DOL|zeta(frac12+i t)|DOL a d’abord été envisagé par Titchmarsh qui cite[Theorem 8.12]{Ti86} a montré qu’il existe des DOLtDOL arbitrairement grands tels que DOL|zeta(frac12+i t)|geexp((log t)^alpha)DOL pour tout DOLalpha<frac12DOL. À partir de là, tant de résultats importants ont été établis. La borne inférieure la plus connue est due à de la Bret'eche-Tenenbaum, qui a montré que DOL|zeta(frac12+i t)|DOL peut être aussi grand que DOLexp(sqrt{2log tlog_3t/log_2t})DOL. Cette limite peut être encore loin de la vraie valeur maximale, puisque la conjecture de Farmer-Gonek-Hugh indique qu’elle devrait être DOLexp(frac{sqrt2}{2}sqrt{log tlog_2t})DOL. Outre la ligne critique, il est également intéressant d’étudier de grandes valeurs de DOL|zeta(s)|DOL sur la ligne 1 et dans la bande critique DOLfrac12<re s<1DOL. Sur la ligne 1, il peut remonter à 1925 lorsque Littlewood a montré qu’il existe arbitrairement grand DOLtDOL pour lequel DOL|zeta(1+i t)|ge(1+o(1)){rm e}^gammalog_2tDOL. Jusqu’à présent, la borne inférieure la plus connue devrait être due à Astleitner-Mahatab-Munsch qui a montré que DOL|zeta(1+i t)|DOL peut être aussi grand que DOL{rm e}^gamma(log_2t+log_3t+O(1))DOL. Leur résultat coïncide avec une conjecture de Granville-Soundararajan, qui est basée sur l’analyse de la distribution des valeurs de DOL|zeta(1+i t)|DOL. Nous donnons une constante effective DOLcDOL au lieu de la DOLO(1)DOL dans l’inégalité d’Astleitner-Mahatab-Munsch, ce qui la rapproche de la conjecture de Granville-Soundararajan. Dans la bande critique DOLfrac12<re s<1DOL, fixons DOLfrac12<sigma<1DOL. En 1928, Titchmarsh cite{Ti28} a montré pour la première fois que pour tout DOLvarepsilon>0DOL, il existe arbitrairement grand DOLtDOL tel que DOLlog|zeta(sigma+i t)|ge(log t)^{1-sigma-varepsilon}DOL. En 1977, Montgomery cite{Mon77} a montré que DOLlog|zeta(sigma+i t)|DOL peut être supérieur à DOLc(sigma)(log t)^{1-sigma}/(log_2t)^sigmaDOL pour une constante DOLc(sigma)DOL. Il a également conclu qu ’il s’agit du maximum de l’ordre de DOLlog|zeta(sigma+i t)|DOL jusqu’à DOLc(sigma)DOL. Ainsi, tous les derniers éléments de ce problème se concentrent sur l’obtention de valeurs plus grandes de DOLc(sigma)DOL. En 2011, Lamzouri cite{La2011} a donné une valeur conjecturale de DOLc(sigma)DOL. En 2018, Bondarenko et Seip ont examiné les cas de DOLsigmasearrowfrac12DOL et DOLsigmanearrow1DOL. Nous étudions également le premier cas et obtenons une amélioration du résultat de Bondarenko-Seip.

The study of the value distribution of the Riemann zeta function DOLLARzeta(s)DOLLAR can date back to the early twentieth century when Bohr showed that for any DOLLARzinC^*DOLLAR and DOLLARvarepsilon>0DOLLAR,there are infinitely many DOLLARsDOLLAR's with DOLLAR1<re s<1+varepsilonDOLLAR such that DOLLARzeta(s)=zDOLLAR. Later in 1932, Bohr and Jessen showed that DOLLARlogzeta(sigma+{rm i} t)DOLLAR has a continuous distribution on the complex plane for any DOLLARsigma>frac{1}{2}DOLLAR. Till now, quite a few of theory has been developed. On the critical line, Selberg's Central Limit Theorem states that the logarithm of the Riemannzeta function DOLLARlog|zeta(frac12+i t)|DOLLAR behaves like a complexGaussian random variable of mean 0 and variance DOLLARfrac12log_2TDOLLAR as DOLLARTtoinftyDOLLAR, where DOLLARtDOLLAR varies in DOLLAR[T,2T]DOLLAR. On the 1-line, Granville and Soundararajan established the distribution of DOLLAR|zeta(1+i t)|DOLLAR, which is asymptotically a double-exponent function. In the critical strip DOLLARfrac12<re s<1DOLLAR, Lamzouri studied the distribution of DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|DOLLAR with any fixed DOLLARfrac12<sigma<1DOLLAR and also got the asymptotic distribution function.Based on the results established separately by Granville and Soundararajan and Lamzouri {La2011}, we obtain higher order expansions in the exponents of these two distribution functions.The problem of getting large values of DOLLAR|zeta(frac12+i t)|DOLLAR was first considered by Titchmarsh who [Theorem 8.12]{Ti86} showed that there exists arbitrarily large DOLLARtDOLLAR such that DOLLAR|zeta(frac12+i t)|geexp((log t)^alpha)DOLLAR for any DOLLARalpha<frac12DOLLAR. From then, so many important results have been established. The best-known lower bound is due to de la Bret`eche-Tenenbaum, who showed that DOLLAR|zeta(frac12+i t)|DOLLAR can be as large as DOLLARexp(sqrt{2log tlog_3t/log_2t})DOLLAR. This bound may be still far from the true maximal value, since the Farmer-Gonek-Hugh conjecture {FGH07} tells that it should be DOLLARexp(frac{sqrt2}{2}sqrt{log tlog_2t})DOLLAR. Apart from the critical line, it is also interesting to study large values of DOLLAR|zeta(s)|DOLLAR on the 1-line and in the critical strip DOLLARfrac12<re s<1DOLLAR. On the 1-line, it can date back to 1925 when Littlewood {Li25} showed that there exists arbitrarily large DOLLARtDOLLAR for which DOLLAR|zeta(1+i t)|ge(1+o(1)){rm e}^gammalog_2tDOLLAR. Till now, the best-known lower bound should be due to Astleitner-Mahatab-Munsch who showed that DOLLAR|zeta(1+i t)|DOLLAR can be as large as DOLLAR{rm e}^gamma(log_2t+log_3t+O(1))DOLLAR. Their result coincides with a conjecture of Granville-Soundararajan, which is based on the analysis of the distribution of values of DOLLAR|zeta(1+i t)|DOLLAR. We give an effective constant DOLLARcDOLLAR instead of the DOLLARO(1)DOLLAR in the inequality of Astleitner-Mahatab-Munsch, which makes it closer to the conjecture of Granville-Soundararajan. In the critical strip DOLLARfrac12<re s<1DOLLAR, let DOLLARfrac12<sigma<1DOLLAR be fixed. In 1928 Titchmarsh {Ti28} first showed that for any DOLLARvarepsilon>0DOLLAR there exists arbitrarily large DOLLARtDOLLAR such that DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|ge(log t)^{1-sigma-varepsilon}DOLLAR. In 1977, Montgomery {Mon77} showed that DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|DOLLAR can be larger than DOLLARc(sigma)(log t)^{1-sigma}/(log_2t)^sigmaDOLLAR for some constant DOLLARc(sigma)DOLLAR. He also conjected that this is the maximum of the order of DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|DOLLAR up to DOLLARc(sigma)DOLLAR. So all the later improments for this problem focus on getting larger values of DOLLARc(sigma)DOLLAR. In 2011, Lamzouri {La2011} gave a conjectural value of DOLLARc(sigma)DOLLAR. In 2018, Bondarenko and Seip {BS18} considered the cases of DOLLARsigmasearrowfrac12DOLLAR and DOLLARsigmanearrow1DOLLAR. We also study the first case and get an improvement of the result of Bondarenko-Seip.