Dimension fractale et propriétés ponctuelles des trajectoires des processus fractionnaires

Fractal dimension and point-wise properties of trajectories of fractional processes

• Auteur / Autrice : Lara Daw
• Direction : Stéphane Seuret, Ivan Nourdin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/05/2022
• Etablissement(s) : Paris 12 en cotutelle avec Université du Luxembourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....) - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Giovanni Peccati
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Seuret, Ivan Nourdin, Yimin Xiao, Céline Esser, Stéphane Jaffard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yimin Xiao, Céline Esser

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus gaussiens

Hausdorff, Mesures de

Fractales

Mots clés libres

Mouvement brownien fractionnaire

Processus Rosenblatt

Dimensions fractales

Dimension macroscopique de Hausdorff

Série d'ondelettes

Théorèmes de projection

Fractional Brownian motion

Rosenblatt process

Fractal dimensions

Macroscopic Hausdorff dimension

Wavelet series

Projection theorems

Résumé

Le sujet de cette thèse porte sur l'interférence de la théorie des probabilités avec l'analyse dimensionnelle et harmonique, accentuant les propriétés géométriques des chemins aléatoires des processus stochastiques gaussiens et non gaussiens. Cette ligne de recherche s'est rapidement développée au cours des dernières années, ayant des propriétés locales et globales claires pour les chemins aléatoires associés à divers processus stochastiques tels que le mouvement brownien et fractionnaire brownien. Dans cette thèse, nous commençons par étudier les ensembles de niveaux associés au mouvement brownien fractionnaire en utilisant la dimension de Hausdorff macroscopique. Puis comme étape préliminaire, nous établissons quelques points techniques concernant la distribution du processus de Rosenblatt dans le but d'étudier diverses propriétés géométriques de ses chemins aléatoires. Tout d'abord, nous obtenons des résultats concernant les dimensions de Hausdorff (classiques et macroscopiques), d'emballage et intermédiaires, et les densités logarithmiques et de pixels des ensembles d'images, de niveaux et de temps de séjour associés aux chemins d'échantillonnage du processus de Rosenblatt. Deuxièmement, nous étudions la régularité ponctuelle du Rosenblatt généralisé et prouvons l'existence de trois types de comportement local : les points lents, ordinaires et rapides. À cet effet, des bornes fines sur les incréments du processus de Rosenblatt sont nécessaires. Notre analyse repose essentiellement sur différentes méthodes d'ondelettes.Dans le dernier chapitre, nous illustrons plusieurs méthodes d'estimation de la dimension macroscopique de Hausdorff, qui jouent un rôle majeur dans nos résultats. En particulier, nous construisons les méthodes théoriques potentielles. Puis, en se basant sur cela, nous montrons que la dimension macroscopique de Hausdorff de la projection d'un ensemble DOLLARE subset mathbb{R}^2DOLLAR sur presque toutes les droites passant par l'origine dans DOLLARmathbb{R}^2DOLLARne dépend que de DOLLAREDOLLAR, c'est-à-dire qu'elles sont presque sûrement indépendantes du choix de la droite.

The topics of this thesis lie at the interference of probability theory with dimensional and harmonic analysis, accentuating the geometric properties of random paths of Gaussian and non-Gaussian stochastic processes. Such line of research has been rapidly growing in past years, paying off clear local and global properties for random paths associated to various stochastic processes such as Brownian and fractional Brownian motion. In this thesis, we start by studying the level sets associated to fractional Brownian motion using macroscopic Hausdorff dimension. Then as a preliminary step, we establish some technical points regarding the distribution of the Rosenblatt process for the purpose of studying various geometric properties of its random paths. First, we obtain results concerning the Hausdorff (both classical and macroscopic), packing and intermediate dimensions, and the logarithmic and pixel densities of the image, level and sojourn time sets associated with sample paths of the Rosenblatt process. Second, we study the pointwise regularity of the generalized Rosenblatt and prove the existence of three kinds of local behavior: slow, ordinary and rapid points. . On this purpose, fine bounds on the increments of the Rosenblatt process are needed. Our analysis is essentially based on various wavelet methods.In the last chapter, we illustrate several method to estimate the macroscopic Hausdorff dimension, which played a key role in our results. In particular, we build the potential theoretical methods. Then, relying on this, we show that the macroscopic Hausdorff dimension of the projection of a set DOLLAR E subset mathbb{R}^2DOLLAR onto almost all straight lines passing through the origin in DOLLAR mathbb{R}^2DOLLAR depends only on DOLLAR EDOLLAR , that is, they are almost surely independent of the choice of straight line.