Métastabilité dans des EDP stochastiques lentement dépendantes du temps non singulières et singulières
Auteur / Autrice : | Rita Nader |
Direction : | Nils Berglund |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 22/11/2022 |
Etablissement(s) : | Orléans |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....) |
Jury : | Président / Présidente : Cyril Labbé |
Examinateurs / Examinatrices : Cyril Labbé, Arnaud Debussche, Dorian Le Peutrec, Alexandra-Aurelia Neamţu, Olivier Durieu | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Debussche, Francesco Caravenna |
Résumé
On considère des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) lentement dépendantes du temps soumises à un bruit blanc espace-temps. Ces EDPS ne sont pas toujours bien posées. On montre que sur le tore de dimension une, ce problème n'apparait pas. On s'intéresse à des EDPS soumises aussi à un forçage périodique en temps. Ce dernier s'annule en trois branches d'équilibres dont deux stables et une instable, qui s'approchent l'une de l'autre à un certain temps. On décrit l'effet de la résonance stochastique sur le système. On montre l'existence d'une intensité de bruit critique dépendante de la période du forçage et de la distance minimale entre les branches d'équilibres. Pour une intensité de bruit inférieure à l'intensité seuil, la probabilité que les solutions de l'EDPS passent d'un équilibre stable à l'autre est exponentiellement petite, tandis que ces transitions ont lieu avec une probabilité exponentiellement proche de 1 pour des intensités de bruit plus grandes. Les estimées de concentration des solutions sont données dans des normes de Sobolev. D'un autre côté, sur le tore de dimension deux, les EDPS ne sont pas bien définies et une renormalisation au sens de Wick est nécessaire pour définir une solution de l'équation. On donne des estimées de concentration des solutions dans des normes de Bessov et Hölder et on montre qu'elles sont concentrées avec grande probabilité près de la branche d'équilibre stable. Ensuite, on discute le cas où le système s'approche d'une bifurcation fourche où un phénomène intéressant a lieu : le retard à la bifurcation. Les résultats obtenus sont une généralisation à une dimension infinie de résultats obtenus pour des EDS en dimension finie.