Résultats numériques et théoriques sur les équations de Saint-Venant couplées à un modèle d’érosion ou avec force de Coriolis

Numerical and theoretical results on Shallow-Water equations, coupled with an erosion model or with Coriolis force

• Auteur / Autrice : Noémie Gaveau
• Direction : Carine Lucas
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/06/2022
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Magali Ribot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Magali Ribot, Antoine Rousseau, Enrique Domingo Fernández Nieto, Emmanuel Audusse, François James
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Antoine Rousseau, Enrique Domingo Fernández Nieto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dynamique hydro-sédimentaire

Sols -- Érosion

Fluides newtoniens

Modèles mathématiques

Écoulement (hydrologie)

Mots clés libres

Équations de Saint-Venant

Modélisation

Schémas numériques

Sédimentation

Force de Coriolis

Shallow-Water equations

Modelisation

Numerical schemes

Sedimentation

Coriolis force

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux problématiques liées à l’étude et la simulation numérique de flux d’eaux peu profondes : le couplage avec un modèle de sédimentation et la prise en compte de la force de Coriolis. Dans une première partie, nous considérons un modèle de Saint-Venant-Exner pour le transport de sédiments. Via une étude d’énergie, nous montrons, sous condition de régularité du gradient de la hauteur d’eau, la stabilité des solutions faibles du système.On s’intéresse ensuite à un autre système d’équations, basé sur une loi de conservation, couplé aux équations de Saint-Venant. Afin de valider ce modèle de transport et dépôt de sédiments, on reproduit une expérience de laboratoire, consistant en des sédiments entraînés dans un canal. On utilise le logiciel FullSWOF, qui résout numériquement les équations de Saint-Venant avec transport de sédiments, modifié pour vérifier la conservation de la masse de sédiments. Une étude est menée pour déterminer la répartition des vitesses de sédimentation dans le mélange expérimental d’entrée, non mesurée en laboratoire. Dans une dernière partie, on cherche à écrire un schéma pour la résolution numérique des équations de Saint-Venant non-linéaires avec force de Coriolis, préservant les équilibres géostrophiques et vérifiant une inégalité d’énergie semi-discrète. Nous proposons six schémas, dérivés d’un schéma aux volumes finis classique, et étudions leur énergie et la stabilité de l’équilibre géostrophique. Nous les testons également sur des cas tests standards et mettons en évidence les améliorations apportées par rapport à un schéma aux volumes finis de type Godunov.

In this work, we are interested in two issues related to the study and the numerical simulation of shallow water flows: the coupling with a sedimentation model and taking the Coriolis force into consideration.In a first part, we consider a Saint-Venant-Exner model for sediment transport. Thanks to the study of the energy of the system, we show the stability of the weak solutions under a smoothness condition on the gradient of the water height.Then we are interested in another set of equations, based on a conservation law and coupled to the Shallow-Water equations. To validate this model which describes the transport and sedimentation of particles, we reproduce a laboratory experiment, consisting in sediments flowed in a channel. We use the FullSWOF software, solving the Shallow-Water equations with transport of sediments numerically, modified to check the mass conservation of sediments. A study is lead in order to determine the distribution of sedimentation velocities in the experimental input, distribution which was not measured experimentally.In the last part, we aim at designing a scheme for the numerical resolution of the non-linear Shallow-Water equations with Coriolis force, stable around the geostrophic equilibrium and verifying a semi-discrete energy inequality. We propose six schemes, derived from a classical finite volumes scheme, and we study their energy and the stability of the geostrophic equilibrium. We also test them against standard benchmarks, and we highlight the improvements they bring comparatively to a Godunov-type finite volumes scheme.