Enveloppes convexes pelées

Convex hull peeling

• Auteur / Autrice : Gauthier Quilan
• Direction : Pierre Calka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2022
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Calka, Matthias Reitzner, Elisabeth M. Werner, Thierry De la Rue, David Coupier, Nicolas Forcadel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matthias Reitzner, Elisabeth M. Werner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Processus ponctuels de Poisson

Processus ponctuels

Polytopes

Géométrie stochastique

Probabilités

Mots clés libres

Probabilités

Géométrie stochastique

Géométrie convexe

Polytopes aléatoires

Convex hull peeling

Processus ponctuels

Processus ponctuel de Poisson

Stabilisation

Théorèmes limites

Probability

Stochastic geometry

Convex geometry

Random polytopes

Convex hull peeling

Point processes

Poisson point processes

Stabilization

Limit theorems

Résumé

Cette thèse porte sur la construction du convex hull peeling (qu’on pourrait traduire littéralement par enveloppe convexe pelée). Le convex hull peeling d’un ensemble localement fini X consiste à prendre l’enveloppe convexe de X , puis à enlever les points sur le bord de l’enveloppe et ensuite à répéter l’opération jusqu’à ce qu’il ne reste plus de points. Le bord de l'enveloppe obtenue à la n-ième étape est appelée n-ième couche du convex hull peeling de X . On s'intéresse plus particulièrement au cas où X est un processus ponctuel de Poisson homogène dans un corps convexe K d'intérieur non vide de \mathbb{R}^d . Ce procédé généralise alors les polytopes aléatoires obtenus comme enveloppe convexe de points jetés au hasard. On recherche notamment le nombre de k-faces et les volumes intrinsèques des couches successives du convex hull peeling lorsque l'intensité du processus de Poisson est \lambda fois la mesure de Lebesgue dans K et \lambda tend vers l'infini.Le premier chapitre de cette thèse rappelle d'abord quelques résultats de géométrie stochastique et de géométrie convexe. Nous nous concentrons ensuite sur la description des principaux résultats connus sur les polytopes aléatoires. On peut noter en particulier que l'espérance du nombre de points sur le bord de l'enveloppe convexe est polynomial en lambda lorsque K est un corps convexe lisse tandis qu'il est logarithmique lorsque K est lui-même un polytope.Dans un deuxième chapitre, nous donnons quelques définitions et résultats généraux sur le convex hull peeling déterminimiste, puis nous présentons de manière précise les principaux résultats existants sur le convex hull peeling de points aléatoires. Le premier résultat, dû à Dalal montre que l'ordre de grandeur de l'asymptotique de l'espérance du nombre de couches du convex hull peeling est polynomial et ne dépend pas de la région bornée de \mathbb{R}^d dans laquelle on jette les point. Nous décrivons ensuite la contribution de Calder et Smart qui obtiennent une limite presque sûre et en espérance pour le numéro de couche de chaque point de K dans le convex hull peeling de processus de Poisson généraux dans K .Le chapitre 3 est dédié à l’étude des premières couches du convex hull peeling d’un processus de Poisson d’intensité lambda fois la mesure de Lebesgue dans la boule unité de \mathbb{R}^d . On y obtient une limite pour l’espérance et la variance renormalisées du nombre de k-faces ainsi que de tous les volumes intrinsèques pour les premières couches du convex hull peeling. En particulier les ordres de grandeur obtenus sont les mêmes pour les premières couches que pour la toute première. On montre par ailleurs que les limites obtenues sont non nulles et on établit enfin un théorème central limite pour chacune de ces quantités. On s'appuie sur un changement d'échelle qui nous amène dans un modèle parabolique et sur un résultat de stabilisation dans ce nouveau modèle. La clé pour montrer la stabilisation est une estimation de la hauteur de chacune des couches.Enfin le chapitre 4 concerne le cas où le convexe mère K est un polytope simple. Y sont obtenues les limites de l’espérance et de la variance renormalisées du nombre de k-faces des premières couches du convex hull peeling. Les ordres de grandeurs sont là encore les mêmes que ceux de la première couche. Nous nous appuyons également sur un changement d'échelle et un résultat de stabilisation. En revanche ce changement d'échelle n'est possible que dans un voisinage de chacun des sommets de K , ce qui nous amène à montrer que l'on peut sommer les nombres de k -faces au voisinage de chaque sommet et que la contribution des points loin des sommets est négligeable. Cela nécessite un résultat intermédiaire intéressant en soi qui porte sur la localisation entre deux corps flottants des premières couches.Chacun des deux derniers chapitres se conclut par une liste de questions ouvertes et perspectives.

This thesis deals with the construction of the convex hull peeling. The convex hull peeling of a locally finite set X consists in taking the convex hull of X , then removing the points on the boundary of the convex hull and then repeating the operation until no point remains. The boundary of the convex hull obtained at the n-th step is called the n-th layer of the convex hull peeling of X . We are particularly interested in the case where X is a homogeneous Poisson point process in a convex body K of \mathbb{R}^d with non empty interior. This procedure then generalizes the random polytope obtained as the convex huls of a random point set. We investigate the number of k-faces and the intrinsic volumes of the successive layers of the convex hull peeling when the intensity of the Poisson point process is \lambda times the Lebesgue measure in K and \lambda goes to infinity. The first chapter of this thesis recalls various results of stochastic geometry and convex geometry. We then focus on the description of the main known results about random polytopes. We can note in particular that the expectation of the number of points on the boundary of the convex hull is polynomial in lambda when K is a smooth convex body while it is logarithmic when K is itself a polytope.In a second chapter, we give some definitions and general results about the deterministic convex hull peeling, then we present in a precise manner the main existing results about the convex hull peeling of random points. The first result, due to Dalal shows that the order of magnitude of the asymptotic expectation of the number of layers of the convex hull peeling is polynomial and does not depend on the bounded region of \mathbb{R}^d^ where the random points are taken. Next we describe the contribution of Calder and Smart who obtain a limit, almost sure and in expectation, of the layer number of any point of K in the convex hull peeling of general Poisson point processes in K . Chapter 3 is dedicated to the study of the first layers of the convex hull peeling of a Poisson point process with intensity lambda times the Lebesgue measure in the unit ball of \mathbb{R}^d . We obtain a limit for the renormalized expectation and variance of the number of k-faces as well as all the intrinsic volumes for the first layers of the convex hull peeling. In particular, the growth rates that we derive are the same as for the first layer. We also prove that the limits do not vanish and we provide a central limit theorem for each of these quantities. We rely on a rescaling that transforms the initial picture into a parabolic model and on a stabilization result in this new model. The key to show the stabilization is an estimate of the height of each layer. Finally, Chapter 4 concerns the case where the mother body K is a simple polytope. There, we obtain the limits of the renormalized expectation and variance of the number of k-faces of the first layers of the convex hull peeling. The orders of magnitudes are again the same as the first layer. We rely on a rescaling and a stabilization result in this context as well. However, this rescaling can only occur in a neighbourhood of each of the vertices of K . This leads us to prove that we can sum the number of k-faces over the neighbourhoods of the vertices and that the contribution of the points far from the vertices is negligible. This requires a result, interesting in itself, of sandwiching of the first layers between two floating bodies. Each of the last two chapters ends with a list of open problems and perspectives