Géométrie énumérative réelle des variétés de Fano de dimension 3 et d’indice 2

Real enumerative geometry of Fano varieties of dimension 3 and index 2

• Auteur / Autrice : Thi Ngoc Anh Nguyen
• Direction : Erwan Brugallé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2022
• Etablissement(s) : Nantes Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Jean Leray. Journée (Nantes) (2006)
• Jury : Président / Présidente : Susanna Zimmermann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Yves Welschinger, Frédéric Bihan, Penka Georgieva, Christoph Sorger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Yves Welschinger, Frédéric Bihan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Intersections, Théorie des

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie énumérative complexe et réelle

Invariants de Gromov-Witten et de Welschinger

Variétés algébriques en base dimension

Enumerative geometry

Gromov-Witten and Welschinger invariants

Algebraic varieties in low dimension

Résumé

En géométrie énumérative, les invariants de Gromov-Witten sont connus comme l’un des problèmes classiques concernant le compte de courbes complexes passant par une contrainte générique dans les variétés projectives. Depuis 2003, les invariants de Welschinger sont connus comme la contrepartie réelle des invariants de Gromov-Witten, c’est-à-dire l’énumération de courbes réelles avec un choix cohérent de signe ±1, tel que le compte se fait indépendamment du choix de contrainte réelle générique. Cette thèse s’inspire des travaux sur les calculs des invariants de Gromov-Witten et de Welschinger de l’espace projectif complexe par E. Brugallé et P. Georgieva en 2016. Nous appliquons leur stratégie pour obtenir les formules calculant ces invariants des variétés de Fano de dimension 3, dont la première classe de Chern est paire, en mettant l’accent sur les cas des degrés 6, 7 et 8. Nous généralisons également un résultat de J. Kollár sur l’optimalité des invariants de Welschinger de genre zéro sur de tels espaces.

In enumerative geometry, Gromov-Witten invariants are known as one of the classical problems concerned with counting complex curves passing through a generic constraint in projective varieties. Since 2003, Welschinger invariants have been known as the real counterpart of Gromov-Witten invariants, i.e. the enumeration of real curves with a consistent choice of sign ±1, such that this count is independent of the choice of a generic real configuration. This thesis is inspired by the work on the computations of Gromov-Witten and Welschinger invariants of complex projective space by E. Brugallé and P. Georgieva in 2016. We apply their strategy to obtain the formulas for computing these invariants of 3-dimensional Fano varieties, whose first Chern class is even, with emphasis on the cases of degree 6, 7 and 8. We also generalize a result of J. Kollár about the optimality of the genus zero Welschinger invariants on such spaces.