Invariants du relevé Legendrien d’une sous-variété Lagrangienne exacte dans la contactisation circulaire d’une variété de Liouville

Invariants of the Legendrian lift of an exact Lagrangian submanifold in the circular contactization of a Liouville manifold

• Auteur / Autrice : Adrian Petr
• Direction : Vincent Colin, Paolo Ghiggini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/09/2022
• Etablissement(s) : Nantes Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Bourgeois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Amiot, Georgios Dimitroglou Rizell, Agnès Gadbled
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mihai Damian, Alexandru Oancea

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sturm-Liouville, Équation de

Homologie de Floer

Algèbre différentielle

Mots clés libres

Contactisation circulaire

Homologie de contact Legendrienne Morse-Bott

Localisation de catégories A∞

Circular contactization

Morse-Bott Legendrian contact homology

Localization of A∞

Résumé

On étudie les relations entre une sous-variété Lagrangienne exacte L dans une variété de Liouville P et un de ses relevés Legendriens Λ◦ dans la contactisation circulaire S1 × P. Contrairement au cas bien étudié de la contactisation standard R×P, chaque point d’une Legendrienne dans S1 ×P donne lieu à une infinité (dénombrable) de cordes de Reeb pour la forme de contact standard, et on est dans une situation dite Morse-Bott. On démontre d’abord des propriétés homotopiques générales de l’homologie de contact Legendrienne en utilisant les cylindres d’applications de morphismes entre algèbres différentielles graduées. Ensuite, on introduit la notion de tore d’application associé à une quasi-autoéquivalence d’une catégorie A∞ comme colimite homotopique d’un diagramme. On montre comment calculer cette colimite dans certaines circonstances en travaillant avec des localisations de catégories A∞. Enfin, on utilise les résultats précédents pour relier l’algèbre A∞ de Floer de L et l’algèbre différentielle graduée de Chekanov- Eliashberg de Λ◦.

We study the relations between an exact Lagrangian submanifold L in a Liouville manifold P and one of its Legendrian lift in the circular contactization S1 × P. Unlike the well-studied case of the standard contactization R×P, each point of a Legendrian in S1×P gives rise to a (countable) infinite set of Reeb chords for the standard contact form, and we are in a so-called Morse-Bott situation. We first demonstrate general homotopical properties of Legendrian contact homology using mapping cylinders of morphisms between diffrential graded algebras. Then, we introduce the notion of mapping torus associated to a quasi-autoequivalence of an A∞- category as homotopy colimit of some diagram. We show how to compute this colimit in certain circonstances by working with localizations of A∞-categories. Finally, we use the previous results in order to relate the Floer A∞-algebra of L and the Chekanov- Eliashberg differential graded algebra of Λ◦.