Problèmes inverses et résonances locales dans les guides d’ondes mécaniques irréguliers

Inverse problems and local resonances in irregular mechanical waveguides

• Auteur / Autrice : Angèle Niclas
• Direction : Grégory Vial, Laurent Seppecher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2022
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École Centrale de Lyon (1857-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Sonia Fliss
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Grégory Vial, Laurent Seppecher, Camille Carvalho, Claire Prada, Eric Soccorsi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fioralba Cakoni, Yves Capdeboscq

Mots clés

Mots clés contrôlés

Guides d'ondes

Problèmes inverses

Mots clés libres

Guides d’ondes

Problèmes inverses

Contrôle non destructif

Propagation des ondes

Données multi-fréquencielles

Équation de Helmholtz

Équation du déplacement élastique

Résonances locales

Waveguides

Inverse problems

Non-destructing testing

Wave propagation

Mutli-frequency data

Helmholtz equation

Elastic displacement equation

Locally resonances

Résumé

La détection et la reconstruction de défauts dans les guides d’ondes sont un enjeu contemporain important pour contrôler l’état de structures diverses allant des oléoducs aux fibres optiques, en passant par les conduits de centrales nucléaires ou les coques de navires. Cette thèse a pour but de mieux comprendre d’un point de vue mathématique la propagation des ondes en guide d’onde, pour pouvoir ensuite proposer des méthodes efficaces pour détecter et reconstruire avec précision d’éventuels défauts. Pour modéliser au mieux les dispositifs expérimentaux disponibles, on choisit ici d’utiliser des ondes se propageant à des fréquences variables et parfois voisines des fréquences de résonances. Si les fréquences sont éloignées des résonances, on montre que la reconstruction de défaut s’apparente à de l’inversion de Fourier avec données partielles, ce qui permet de reconstruire de manière stable la plupart des petits défauts présents dans les guides d’ondes. Si la fréquence est proche des résonances, les équations mathématiques sont très mal posées mais les ondes sont particulièrement sensibles aux défauts présents dans le guide. Des parallèles avec des travaux de physique quantique permettent une approximation asymptotique formelle de ces ondes sous forme de fonctions d’Airy lorsque le guide varie lentement. Grâce à ces approximations, on propose une méthode précise se basant sur le profil des fonctions d’Airy pour reconstruire entièrement les défauts de hauteur du guide.

Localization and reconstruction of defects in waveguides are crucial in the nondestructive evaluation of structures like pipelines, optics fibers, nuclear power plant conduits, or even ship hulls. This thesis aims to understand waves propagation in waveguides from a mathematical point of view to design new efficient methods to detect and reconstruct potential waveguides defects. To reproduce the existing experimental setups, we use multi-frequency data with frequencies sometimes close to resonant ones. Far from the resonant frequencies, we prove that the defects reconstruction is equivalent to a Fourier inversion from partial data, and we provide a stable reconstruction method working for small defects. On the other hand, mathematical equations are not well-posed near resonant frequencies, but waves seem very sensitive to potential defects. Drawing a parallel with quantum mechanics, we provide an asymptotic approximation of these waves as Airy functions when the width of the waveguide slowly varies. Using these approximations, we develop a precise method based on the shape of Airy functions to reconstruct width defects in waveguides.