Etude des quasi-groupes de Frobenius et des K-boucles de rang de Morley fini

Study of quasi-Frobenius groups and K-loops of finite Morley rank

• Auteur / Autrice : Samuel Zamour
• Direction : Frank-Olaf Wagner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/07/2022
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Point
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Katrin Tent, Adrien Deloro, Tuna Altinel, Olivier Frécon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Katrin Tent, Adrien Deloro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps algébriques

Théorie des modèles

Frobenius, Groupes de

Groupes de rang de Morley fini

Mots clés libres

Groupe de rang de Morley fini

Presque-domaine

Groupe de Frobenius

K-boucle

Symétron

Group of finite Morley rank

Near-domain

Frobenius group

K-loop

Symmetric space

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains groupes de rang de Morley fini de type impair. Dans un premier chapitre, nous considérons le problème de la classification des groupes strictement 2-transitifs rangés du point de vue algébrique des presque-domaines et des presque-corps. Nous étudions les presque-corps rangés de caractéristique égale à deux et sous une hypothèse technique assez forte, nous démontrons que ce sont des corps algébriquement clos. Une caractérisation des presque-domaines en termes des propriétés du demi-plongement de la K-boucle additive est également esquissée. Dans un deuxième chapitre, nous établissons un certain nombre de résultats sur la théorie des modèles des K-boucles uniquement 2-divisibles ω-stables. Le lien avec la notion de symétron introduite par B. Poizat est exploité. Nous donnons dans ce contexte un analogue de l’analyse de Lascar des groupes de rang de Morley fini. Dans un troisième chapitre, la classe des quasi-groupes de Frobenius - qui contient notamment SO(3, R), PGL(2, C) et GA(1, C) - sera l’objet de notre attention. La question de l’identification de ces groupes classiques dans un contexte qui étend celui des univers rangés et des structures o-minimales est discutée en détail. Dans un quatrième et dernier chapitre, nous examinons le lien entre le projet de classification des quasi-groupes de Frobenius rangés et les groupes définissablement linéaires sur un corps rangé. Une caractérisation des mauvaises paires rangées définissablement linéaires en caractéristique nulle est proposée. On considère également le problème de la résolubilité des quasi-groupes de Frobenius scindés de type impair.

This thesis is devoted to the study of certain groups of finite Morley rank and odd type. In the first chapter, we consider the problem of the classification of ranked strictly 2-transitive groups from the algebraic point of view of near-domains and near-fields. We study ranked nearfields of characteristic equal to two and under a rather strong technical hypothesis, we prove that they are algebraically closed fields. A characterization of the near-domains in terms of the properties of the half-embedding of the additive K-loop is also sketched. In a second chapter, we establish a number of results on the model theory of uniquely 2-divisible ω-stable K-loops. The link with the notion of ”symétron” introduced by B. Poizat is exploited. We give in this context an analogue of Lascar’s analysis of groups of finite Morley rank. In a third chapter, the class of quasi-Frobenius groups - which contains in particular SO(3, R), PGL(2, C) and GA(1, C) - will be in focus. The question of the identification of these classical groups in a context that extends ranked universes and o-minimal structures is discussed in detail. In a fourth and last chapter, we examine the link between the classification project of ranked quasi-Frobenius groups and definably linear groups over a ranked field. A characterization of definably linear bad pairs in zero characteristic is proposed. We also consider the problem of the solvability of split quasi-Frobenius groups of odd type.