Quelques problèmes de stabilité et d’instabilité dans la dynamique des fluides en rotation rapide

Some stability and instability issues in the dynamics of highly rotating fluids

• Auteur / Autrice : Gabriele Sbaiz
• Direction : Francesco Fanelli, Daniele Del Santo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/03/2022
• Etablissement(s) : Lyon en cotutelle avec Università degli studi (Trieste, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Šárka Nečasová
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius-Gheorghe Paicu, Massimiliano Berti, Anne-Laure Dalibard Roux, Dragos Iftimie, Edi Rosset
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Šárka Nečasová, Marius-Gheorghe Paicu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Stabilité

Coriolis, Force de

Physique mathématique

Mathématiques

Dynamique des fluides

Mots clés libres

Système de Navier-Stokes-Fourier

Système barotrope de Navier-Stokes-Coriolis

Système d’Euler incompressible d´ependant de la densité

Force de Coriolis

Problème de perturbation singulière

Limite multi-échelles

Faibles nombres de Mach

Froude et Rossby

Compacité par compensation

Navier-Stokes-Fourier system

Barotropic Navier-Stokes-Coriolis system

Density-dependent incompressible Euler system

Coriolis force

Singular perturbation problem

Multi-scale limit

Low Mach

Froude and Rossby numbers

Compensated compactness

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la description de la dynamique des fluides à grande échelle, comme les courants atmosphériques et océaniques sur la planète Terre. Dans ce contexte, les fluides sont dirigés par des effets de rotation, de faible compressibilité et de stratification, dont l'importance est "mesurée" par des nombres adimensionnels: respectivement les nombres de Rossby, Mach et Froude. Plus ces trois paramètres physiques sont petits, plus les relatifs effets sont importants. La première partie de la thèse est ensuite consacrée à l'analyse d'un problème multi-échelle 3-D appelé le système de Navier-Stokes-Fourier complet où les variations de densité et de température sont prises en compte et en plus la dynamique est influencée par l'action de la force de Coriolis et des forces centrifuge et gravitationnelle. Nous étudions, dans le cadre des solutions faibles, la limite incompressible et à rotation rapide dans le régime des petits nombres de Mach, Froude et Rossby (Ma, Fr, Ro respectivement) et pour des données initiales générales mal préparées. Dans le régime appelé multi-échelles où un effet est prédominant dans le mouvement (lorsque le nombre de Mach est d'ordre supérieur au nombre de Rossby), nous montrons que la dynamique limite est décrite par un système incompressible de type Oberbeck-Boussinesq. Il est à noter que le champ de vitesse est purement horizontal à la limite (selon le théorème de Taylor-Proudman en géophysique), mais étonnamment des effets verticaux apparaissent dans l'équation de la température. Ces effets de stratification sont totalement absents lorsque Fr dépasse \sqrt{Ma}, alors qu'ils entrent en jeu immédiatement quand on considère l’échelle critique Fr=\sqrt{Ma}. A l'inverse, lorsque les nombres de Mach et Rossby ont le même ordre de grandeur, et en absence de la force centrifuge, on montre la convergence vers une équation de type quasi-géostrophique pour une fonction de flux liée au champ de vitesse limite, couplée à une équation de transport-diffusion pour une quantité qui mélange les profils limites de densité et de température. En suivant le fil rouge de l'analyse asymptotique, dans la deuxième partie de la thèse, nous examinons les effets de la rotation rapide (petit nombre de Rossby) pour le système d'Euler incompressible 2-D dépendant de la densité. Plus précisément, l'objectif principal est d'effectuer la limite singulière dans le régime de rotation rapide, montrant la convergence des équations d'Euler vers un système de type quasi-homogène. Le système limite est un système couplé d'une équation de transport pour la densité et d'une équation de quantité de mouvement pour la vitesse avec un terme non linéaire d'ordre inférieur, qui combine les effets des fluctuations de la densité avec le champ de vitesse. Pour atteindre ce but, un point central est de développer des estimations uniformes (par rapport à Ro) dans des normes de haute régularité, pour ne pas détériorer la durée de vie des solutions. De plus, en tant que sous-produit de l'analyse du caractère bien posé local (rappelons que l'existence globale de solutions est un problème ouvert même en 2-D), nous trouvons un résultat de caractère bien posé "asymptotiquement globale": pour des petites densités, la durée de vie des solutions des systèmes primitif et limite tend vers l'infini. La preuve de la convergence des deux problèmes primitifs (respectivement le système de Navier-Stokes-Fourier et le système d'Euler) vers les modèles réduits est basée sur un argument de compacité par compensation. Le point clé est d'utiliser la structure du système sous-jacent, appelé système d'ondes de Poincaré, afin d'identifier certaines propriétés de compacité pour des quantités appropriées. Par rapport aux résultats précédents, notre méthode permet de traiter l'ensemble des paramètres du problème multi-échelles, et aussi pour atteindre et dépasser le choix "critique" Fr=\sqrt{Ma}.

In the present thesis, we are interested in the description of the dynamics of flows on large scales, like the atmospheric and ocean currents on the Earth. In this context, the fluids are governed by rotational, weak compressibility and stratification effects, whose importance is "measured" by adimensional numbers: the Rossby, Mach and Froude numbers respectively. More those three physical parameters are small, more the relative effects are strong. The first part of the thesis is dedicated to the analysis of a 3-D multi-scale problem called the full Navier-Stokes-Fourier system where variations in density and temperature are taken into account and in addition the dynamics is influenced by the action of Coriolis, centrifugal and gravitational forces. We study, in the framework of weak solutions, the combined incompressible and fast rotation limits in the regime of small Mach, Froude and Rossby numbers (Ma, Fr, Ro respectively) and for general ill-prepared initial data. In the so-called multi-scale regime where some effect is predominant in the motion, precisely when the Mach number is of higher order than the Rossby number, we prove that the limit dynamics is described by an incompressible Oberbeck-Boussinesq type system. It is worth noticing that the velocity field is purely horizontal at the limit (according to the so-renowned Taylor-Proudman theorem in geophysics), but surprisingly vertical effects on the temperature equation appear. These stratification effects are completely absent when Fr exceeds \sqrt{Ma}, whereas they suddenly come into play as soon as one reaches the endpoint scaling Fr=\sqrt{Ma}. Conversely, when the Mach and Rossby numbers have the same order of magnitude (the isotropic scaling), and in absence of the centrifugal force, we show convergence towards a quasi-geostrophic type equation for a stream-function of the limit velocity field, coupled with a transport-diffusion equation for a quantity that mixes the target density and temperature profiles. Following "le fil rouge" of the asymptotic analysis, in the second part of the thesis, we examine the effects of high rotation (small Rossby number) for the 2-D incompressible density-dependent Euler system. With respect to the previous problem, now we deal with an incompressible system with a hyperbolic structure, where the viscosity effects are neglected. More precisely, the main goal is to perform the singular limit in the fast rotation regime, showing the convergence of the Euler equations to a quasi-homogeneous type system. The limit system is a coupled system of a transport equation for the density and a momentum equation for the velocity with a non-linear term of lower order, which combines the effects of fluctuations of the density and the velocity field. For the convergence process, a core point is to develop uniform (with respect to Ro) estimates in high regularity norms not to deteriorate the lifespan of solutions. Moreover, as a sub-product of the local well-posedness analysis (recall that the global existence of solutions is an open problem even in 2-D), we find an "asymptotically global" well-posedness result: for small densities, the lifespan of solutions to the primitive and limiting systems tend to infinity. The proof of convergence of the two primitive problems (the Navier-Stokes-Fourier system and the Euler system, respectively) towards the reduced models is based on a compensated compactness argument. The key point is to use the structure of the underlying system of Poincaré waves in order to identify some compactness properties for suitable quantities. Compared to previous results, our method enables to treat the whole range of parameters in the multi-scale problem, and also to reach and go beyond the "critical" choice Fr=\sqrt{Ma}.