Dynamique topologique de groupoïdes pour l’étude des aléatorisations

Topological dynamics of groupoids for the study of randomizations

• Auteur / Autrice : Jorge Muñoz Carvajal
• Direction : Itaï Ben Yaacov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2022
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Todor Tsankov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Itaï Ben Yaacov, Isaac Goldbring, Élisabeth Bouscaren, Tomás Ibarlucía, Françoise Point
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Isaac Goldbring

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des groupes

Fonctions presque périodiques

Groupoïdes

Probabilités

Mots clés libres

Aléatorisation

Sorte de Skolem universelle

Représentation des actions de groupoïdes

Stabilité

Randomizations

Universal Skolem sort

Representation of groupoid actions

Stability

Résumé

L'objectif principal de cette thèse est l'étude de la préservation des propriétés modèle-théoriques par l'aléatorisation en utilisant des méthodes dynamiques, en se basant notamment sur les travaux de T. Ibarlucía. Les aléatorisations sont des structures continues dont les éléments sont des fonctions aléatoires d'un espace de probabilité sans atomes dans une famille de structures. Étant donnée une théorie T, son aléatorisation T^R, est la théorie commune aux aléatorisations de modèles de T. La nouvelle théorie préserve plusieurs propriétés de T, parmi elles stabilité et NIP. Récemment, Ben Yaacov a montré qu'à toute théorie dénombrable, complète admettant une sorte de Skolem universelle, on peut associer un groupoïde topologique qui détermine la théorie à bi-interprétation près. On prouve que si T admet une telle sorte alors son aléatorisation aussi. Ensuite, on étudie les champs d'espaces de Banach et les actions de groupoïdes. On montre que les fonctions faiblement presque-périodiques (ou wap par leur nom en anglais) sont précisément celles provenant de représentations sur des champs d'espaces réflexifs. Finalement, on étudie l'action du groupoïde associé à une théorie sur l'espace de types partiels. On montre que les formules stables correspondent aux fonctions wap. De plus, on montre comment construire une représentation de l'aléatorisation de l'action à partir d'une représentation de l'action originale.

The primary objective of this thesis is the study of the preservation of model-theoretic properties by the randomization using dynamical methods, building on the work done by T. Ibarlucía. Randomizations are continuous structures consisting of random functions from an atomless probability space into a family of structures. Given a theory T, its randomization T^R, is the common theory of the randomizations of models of T. The new theory preserve many of the properties of T, among them stability and NIP. Recently, Ben Yaacov showed that to any complete, countable theory admitting a universal Skolem sort, we can associate a topological groupoid that determines the theory up to bi-interpretation. We show that if T admits such a sort then so it does its randomization. Subsequently, we study fields of Banach spaces and groupoid actions. We show that weakly almost periodic functions (wap for short) are those coming from representations on fields of reflexive spaces. Finally, we study the action of the groupoid associated to a theory on the space of partial types. We prove that stable formulas correspond to wap functions. Furthermore, we show how to build a representation of the randomization of the action starting from a representation of the original action.