Les algèbres supérieures universelles des espaces singuliers et leurs symétries

Universal higher Lie algebras of singular spaces and their symmetries

• Auteur / Autrice : Ruben Louis
• Direction : Camille Laurent-Gengoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/11/2022
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Robert Yuncken
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Camille Laurent-Gengoux, Chenchang Zhu, Marco Zambon, Claire Debord, Pol Vanhaecke
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Chenchang Zhu, Marco Zambon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lie, Algèbres de

Feuilletages (mathématiques)

Géométrie algébrique

Géométrie différentielle

Singularités (mathématiques)

Équivalences d'homotopie

Mots clés libres

Algèbres à homotopie près

Singularités

Géométrie différentielle et algébrique

Feuilletages

DG-Variétés

Homotopy algebras

Singularities

Algebraic and Differential Geometry

Foliations

DG-Manifolds

Résumé

Cette thèse se décompose en deux parties principales.1) Nous montrons qu'il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur une algèbre commutative O et classes d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie acycliquesgraduées négativement. Par conséquent, ce résultat donne un sens à l'algébroïdes de Lie infinie universel d'un feuilletage singulier, sans hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singuliers d'Androulidakis-Zambon. Ceci étend à un cadre purement algébrique la construction de la Q-variété universelle d'un feuilletage singulier localement réel analytique. Aussi, à tout idéal I de O préservé par l'application d'ancre d'une algèbre de Lie-Rinehart A, on associe une classe d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie négativement graduées sur des complexes calculant Tor_O(A,O/I). Plusieurs exemples explicites sont donnés.2) La deuxième partie est consacrée à quelques applications des résultats sur les algèbres de Lie-Rinehart.a. On associe à toute variété affine un algébroïde de Lie infinie universel de l'algèbre de Lie-Rinehart de ses champs de vecteurs. Nous étudions l'effet de certaines opérations courantes sur des variétés affines telles que les éclatements, germes en un point, etc.b. Nous donnons une interprétation de l'éclatement d'un feuilletage singulier F au sens d'Omar Mohsen en terme de l'algébroïde de Lie infinie universel de F.c. Nous introduisons la notion de champs de vecteurs longitudinaux sur une variété graduée sur un feuilletage, et étudier leur cohomologie. Nous prouvons que les groupes de cohomologie de ce dernier sont nuls.d. Nous étudions les symétries de feuilletages singuliers à travers des algébroïdes de Lie infinie universels. Plus précisément, nous prouvons qu'une action par symétrie faible d'une algèbre de Lie g sur un feuilletage singulier F (qui est moralement une action de g sur l'espace des feuilles M/F) induit un unique morphisme de Lie infini à homotopie près de g vers l'algèbre de Lie différentielle graduée (DGLA) des champs de vecteurs sur un algébroïde de Lie infinie universel de F. On déduit de ce résultat général plusieursconséquences. Par exemple, nous donnons un exemple d'action d'algèbre de Lie sur un sous-varieté affine qui ne peut s'étendre sur l'espace ambiant. Enfin, nous présentons la notion de tour de bi-submersions sur un feuilletage singulier et des symétries àcelles-ci.

This thesis breaks into two main parts.1) We show that there is an equivalence of categories between Lie-Rinehart algebras over a commutative algebra O and homotopy equivalence classes of negatively graded acyclic Lie infinity-algebroids. Therefore, this result makes sense of the universal Lie infinity-algebroid of every singular foliation,without any additional assumption, and for Androulidakis-Zambon singular Lie algebroids. This extends to a purely algebraic setting the construction of the universal Q-manifold of a locally real analytic singular foliation. Also, to any ideal I of O preserved by the anchor map of a Lie-Rinehart algebra A, we associate a homotopy equivalence class of negatively graded Lie infinity-algebroids over complexes computing Tor_O(A,O/I). Several explicit examples are given.2) The second part is dedicated to some applications of the results on Lie-Rinehart algebras.a. We associate to any affine variety a universal Lie infinity-algebroid of the Lie-Rinehart algebra of its vector fields. We study the effect of some common operations on affine varieties such as blow-ups, germs at a point, etc.b. We give an interpretation of the blow-up of a singular foliation F in the sense of Omar Mohsen in term of the universal Lie infinity-algebroid of F.c. We introduce the notion of longitudinal vector fields on a graded manifold over a singular foliation, and study their cohomology. We prove that the cohomology groups of the latter vanish.d. We study symmetries of singular foliations through universal Lie infinity-algebroids. More precisely, we prove that a weak symmetry action of a Lie algebra g on a singular foliation F (which is morally an action of g on the leaf space M/F) induces a unique up to homotopy Lie infinity-morphism from g to the Differential Graded Lie Algebra (DGLA) of vector fields on a universal Lie infinity-algebroid of F. We deduce from this general result several geometrical consequences. For instance, we give an example of a Lie algebra action on an affine sub-variety which cannot be extended on the ambient space. Last, we present the notion of tower of bi-submersions over a singular foliation and lift symmetries to those.