Étude trajectorielle de diffusions singulières
Auteur / Autrice : | Alexis Anagnostakis |
Direction : | Antoine Lejay, Denis Villemonais |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 18/10/2022 |
Etablissement(s) : | Université de Lorraine |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz) |
Jury : | Président / Présidente : Victor Nistor |
Examinateurs / Examinatrices : Antoine Lejay, Denis Villemonais, Noufel Frikha, Michaela Szölgyenyi, Christophette Blanchet-Scalliet, Olga Aryasova | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Noufel Frikha, Michaela Szölgyenyi |
Mots clés
Résumé
Le sujet principale de cette thèse est l'étude des processus de diffusions singuliers et en particulier des diffusions collantes. Introduites par Feller dans les années 50, les diffusions collantes sont apparues comme un cas particulier de conditions de bord dans la description analytique des diffusions générales. Leurs trajectoires passent un temps positif sur des points de l'espace d'états leur donnant l'apparence d'y coller. Quand de tels points se trouvent sur des bords atteignables de l'espace d'états on parle de réflexion collante. La première contribution est l'approximation du temps local des diffusions d'Itô collantes. Nous définissons ce type de processus et prouvons leur description trajectorielle. On prouve la convergence d'une classe de fonctionnelles haute-fréquence de la trajectoire du mouvement Brownien collant vers son temps local en 0. On étend avec des arguments trajectoriels aux diffusions d'Itô collantes. On définit un estimateur de la adhérence basé sur l'approximation du temps local, puis on prouve sa consistance. On donne des résultats numériques dans le cas du mouvement Brownien collant. La deuxième contribution de cette thèse est l'approximation de tout processus de diffusion par des marches aléatoires à valeurs dans des grilles dont les moments correspondent avec ceux du vrai processus. On appelle ces processus d'approximation Space-Time Markov Chain Approximation ou STMCA car ce sont des chaines de Markov en espace-temps. Une particularité de ce type d'approximation est qu'on on arrive à répliquer des dynamiques collantes de façon assez naturelle. On montre que avec un choix adapté de la grille on a une vitesse de convergence optimale en loi de cette approximation quand le pas de la grille tend vers 0. On appelle ce procédé grid tuning. On donne des résultats numériques ou on illustre la convergence en loi des processus d'approximation et la fléxibilité de l'algorithme sur le problème d'approximation du temps local.