Study of the ease of playing of brass and reed instruments by means of bifurcation diagrams
Etude de la facilité d'émission des cuivres et des instruments à anche au moyen des diagrammes de bifurcation
Résumé
This work focuses on the characterisation of the ease of playing of musical notes in brass and reed instruments. Here we consider the ease of playing to be related to the lowest value of the musician’s mouth pressure required for the instrument to produce a sound (the so-called mouth pressure threshold).The tuning of the instrument is assessed through the corresponding threshold frequency.The mouth pressure thresholds are estimated here in a minimal model of brass/reed instruments, through three numerical methods:– linear stability analysis: this consists in studying the stability of the equilibrium (non oscillating) solution with respect to one control parameter. This provides the threshold value of this parameter at which the equilibrium solution destabilises, and where a periodic solution may emerge;– time-domain simulations: this consists in solving numerically, in the time domain, the equations of the minimal model, for a given set of control parameters. This is classically done with Runge-Kutta-like methods for ODEs;– bifurcation analysis: this consists in studying the evolution, in permanent regime, of a characteristic quantity of a periodic solution, as well as its stability. It is performed with respect to one or more control parameter of the system, quickly providing a global overview of the periodic solutions as well as their bifurcations. Here, this is performed with the numerical continuation software AUTO-07p, which is based on orthogonal collocation coupled with a predictor-corrector continuation method.A nonlinear model of brass instrument is studied extensively. It has two main control parameters that the musician can adjust in practice: the mouth blowing pressure, and the lips’ resonance frequency. We focus on the influence of these two parameters on the playing (oscillating) regime. First, a linear stability analysis of the equilibrium solution gives access to the linear pressure thresholds and the corresponding threshold frequencies, with respect to the lips’ resonance frequency. These results give a first accurate description of most natural notes of brass instruments. Nevertheless, as it has been shown in previous works, this does not predict the tuba’s lowest natural note (referred to as the ‘pedal note’). Secondly, a bifurcation analysis is performed, which gives access to the periodic solutions branches as well as their stability and bifurcations, starting from the branch of equilibrium solutions. This in-depth analysis provides new estimations of the pressure threshold and corresponding frequency with respect to the two main control parameters described above. Different scenarios are observed depending on the nature of the bifurcation: in case of an inverse (subcritical) Hopf bifurcation, the lowest mouth pressure at which the stable periodic regime appears lays lower than the linear pressure threshold, and is referred to as the inverse pressure threshold. On the other hand, when a direct (supercritical) Hopf bifurcation occurs, the stable periodic regime emerges directly from the destabilised equilibrium, for a mouth pressure equal to the linear pressure threshold. Moreover, the existence of the pedal note is shown to be related to an isolated branch of periodic solutions, which is disconnected from the branch of equilibrium solutions. This explains why its emergence is not predicted by the linear stability analysis. Furthermore, we investigate the existence and emergence of a natural note observed specifically on tubas, which is referred to as ‘ghost note’ due to the fact that it is generally unknown by the tuba players community. Its existence has first been brought to light in a model, through a linear stability analysis of the equilibrium regime, and has been confirmed experimentally only later on. In contrast to all other natural notes, its pitch difference with the closest natural notes depends on the type of tuba...
Ce travail s’intéresse à la caractérisation de la facilité d’émission des cuivres et des instruments à anches, qu’on choisit de quantifier grâce à la valeur minimale de pression dans la bouche du musicien nécessaire pour que l’instrument émette un son (pression de seuil). La fréquence de seuil associée permet alors d’évaluer la justesse de l’instrument. Les pressions de seuil sont caractérisées numériquement sur la base d’un modèle minimal d’instrument à vent couplé à trois méthodes d’analyse (...). Un modèle physique non linéaire de cuivre est étudié en détail. Ce modèle comporte deux paramètres de contrôle principaux,c’est-à-dire deux paramètres que le musicien peut ajuster à volonté : la pression dans la bouche, et la fréquence de résonance des lèvres. On s’attache à étudier l’influence de ces deux paramètres sur le régime de jeu. Tout d’abord, une analyse de la stabilité linéaire du système permet d’accéder aux pressions de seuil linéaires et les fréquences de seuil associées en fonction de la fréquence de résonance des lèvres. Ces résultats donnent une première description fidèle de la plupart des notes naturelles des cuivres. Cependant, comme il avait déjà été mis en évidence dans de précédents travaux,la note naturelle la plus grave des tubas (dite« note pédale ») ne peut être décrite dans le cadre de l’analyse de stabilité linéaire. Ainsi,dans un second temps, à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leurs bifurcations.On accède alors à de nouvelles estimations des pressions et fréquences de seuil en fonction des deux paramètres de contrôle principaux du système cités plus haut, selon le type de bifurcation auquel on a affaire. Dans le cas d’une bifurcation de Hopf inverse, la pression dans la bouche la plus basse à laquelle la solution périodique stable existe est plus basse que la pression de seuil linéaire, on la qualifie de pression de seuil inverse ; dans le cas d’une bifurcation de Hopf directe, la solution périodique stable émerge directement de la solution d’équilibre déstabilisée, c’est-à-dire à une pression dans la bouche égale à la pression de seuil linéaire. Par ailleurs, l’existence de la note pédale des tubas est expliquée parla présence d’une branche de solutions périodiques isolée, déconnectée des branches de solutions statiques, expliquant l’impossibilité de décrire cette note via la seule analyse de stabilité linéaire. Par ailleurs, on effectue une étude plus poussée d’une note naturelle propre aux tubas, nommée la « note fantôme » parce qu’ignorée des musiciens,dont l’existence avait initialement été découverte numériquement grâce à l’analyse de stabilité linéaire, puis confirmée expérimentalement par la suite. Au contraire de toutes les autres notes naturelles, cette note présente la particularité de se trouver à une hauteur différente selon le type de tuba. On s’intéresse à l’écart de cette note aux autres notes naturelles sur sept tubas différents. Numériquement,on calcule les intervalles entre la note fantôme et les notes naturelles voisines au moyen d’une analyse de stabilité linéaire ou d’une analyse de bifurcation. Expérimentalement,on extrait la fréquence des notes jouées à partir d’enregistrements de deux musiciens professionnels jouant les sept types de tubas,au moyen d’un algorithme d’estimation de fréquence fondamentale (YIN). Le modèle minimal de cuivre et les enregistrements étant en bon accord, cela permet de confirmer la robustesse du modèle de cuivre minimal, malgré sa relative simplicité. Dans une seconde étude, le système considéré est un instrument à anche avec un résonateur simplifié ne comportant que deux résonances prépondérantes par rapport à leurs voisines (ce qui est le cas pour certains doigtés sur le saxophone par exemple)...
Origine : Version validée par le jury (STAR)