Construction d'espace-temps haute-fréquences

Construction of high-frequency spacetimes

• Auteur / Autrice : Arthur Touati
• Direction : Cécile Huneau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/10/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau ; 1965-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Rousset
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cécile Huneau, David Lannes, Lars Andersson, Jérémie Szeftel, Jacques Smulevici
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : David Lannes, Lars Andersson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes gravitationnelles

Cauchy, Problème de

Relativité générale (physique)

Optique géométrique

Espace-temps

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Relativité générale

Équations aux déerivées partielles

Equation d'Einstein

Optique géométrique faiblement non-linéaire,

Equations de contraintes

Problème de Cauchy

Ondes gravitationnelles

General Relativity

Partial differential equations

Einstein equations

Weakly non-linear geometric optics

Constraint equations

Cauchy problem

Gravitational waves

Résumé

Cette thèse s’intéresse à des solutions haute-fréquences aux équations de la relativité générale. Ces solutions permettent de décrire la propagation d’ondes gravitationnelles dans un contexte non-linéaire. Elles sont aussi un exemple de backreaction et contribuent ainsi à l’étude de la conjecture de Burnett.Les Chapitres 2 et 3 sont dédiés à la construction de solutions locales en temps haute-fréquences (gλ)λ aux équations d’Einstein dans le vide en jauge d’onde généralisée, approchant en un sens faible une métrique background g0 modélisant une poussière nulle. Les données initiales pour les équations d’Einstein devant vérifier les équations de contraintes, on construit des solutions haute-fréquences à ces équations sur R³ dans le Chapitre 2 en adaptant la méthode conforme, i.e en définissant ses paramètres par des ansatz haute-fréquences.Dans le Chapitre 3, on construit la famille (gλ)λ, qui est définie par un ansatz haute-fréquence. Pour la partie oscillante de l’ansatz, on identifie une hiérarchie d’équations de transport linéaires ainsi que des conditions de polarisations. Ces dernières sont propagées par les identités de Bianchi, et elles permettent de contrôler la création d’harmoniques grâce à la structure nulle polarisée faible des termes semi-linéaires. Le couplage avec l’équation d’onde quasi-linéaire pour le reste induit une perte de dérivée que l’on résout en utilisant le double feuilletage nul de la métrique background et en introduisant un cut-off en Fourier. On évite ainsi de construire le double feuilletage nul pour les métriques gλ .Le Chapitre 4 est dédié à l’étude en temps long d’une famille de solutions haute-fréquences à une équation d’onde semi-linéaire présentant une structure nulle. En se basant sur la méthode des champs de vecteurs, on montre l’existence globale de ces solutions.

This thesis is interested in high-frequency solutions to the equations of general relativity. These solutions describe the propagation of gravitational waves in a non-linear context. They also display the backreaction phenomenon and thus contribute to the study of Burnett's conjecture.Chapters 2 and 3 are devoted to the construction of high-frequency local in time solutions (gλ)λ to the Einstein vacuum equations in generalised wave coordinates, approaching in a weak sense a background null-dust solution. The initial data for the Einstein vacuum must satisfy the constraint equations and we construct high-frequency solutions of these equations on R³ in Chapter 2 by adapting the conformal method, where the parameters are defined by high-frequency ansatz. In Chapter 3, we construct the family (gλ)λ, defined by a high-frequency ansatz. For the oscillating part of the ansatz, we identify a hierarchy of transport equations as well as polarization conditions. The later are propagated through the Bianchi identities, and allow us to control the creation of harmonics thanks to the weak polarized null structure of the semi-linear terms. The coupling with the quasi-linear wave equation for the remainder induces a loss of derivatives which we regain using the background double null foliation and a Fourier cut-off. Thus, we avoid constructing the double null foliation for the metrics gλ .Chapter 4 is devoted to the long time study of high-frequency solutions to a semi-linear wave equation with a null structure. We show global existence using the vector field method.