Protocoles efficaces pour tester la proximité à des codes algébriques

Efficient protocols for testing proximity to algebraic codes

• Auteur / Autrice : Sarah Bordage
• Direction : Daniel Augot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 16/06/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Grégoire Lecerf
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Augot, Pierrick Gaudry, Swastik Kopparty, Adeline Roux-Langlois, Gilles Zémor, Eleonora Guerrini, Eli Ben-Sasson
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Pierrick Gaudry, Swastik Kopparty

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Cryptographie

Information, Théorie de l'

Mots clés libres

Codes correcteurs d'erreurs

Preuves interactives

Preuves vérifiables de manière probabiliste

Tests de proximité

Géométrie algébrique

Tests de bas degré

Error-Correcting codes

Interactive proof systems

Probabilistic proof systems

Low degree tests

Proximity testing

Algebraic geometry

Résumé

Les preuves vérifiables de manière probabiliste (PCP, de l'anglais ''probabilistically checkable proofs), les preuves interactives (IP, pour ''interactive proofs'') ou encore les preuves à divulgation nulle de connaissance (''zero-knowledge proofs'') ont la particularité d'admettre une vérification probabilististe. Ces systèmes de preuves probabilistes interviennent dans les constructions de schémas de calcul vérifiable, des protocoles cryptographiques permettant de vérifier très rapidement qu'un long calcul a été correctement effectué. En 2016, un nouveau modèle de preuve a été introduit par Ben-Sasson, Chiesa et Spooner : celui des preuves interactives par oracle (IOP, pour ''interactive oracle proofs''). Ce modèle généralise à la fois les PCPs et les IPs et a suscité beaucoup d'intérêt depuis son introduction. Le modèle IOP a mené à d'intéressants résultats théoriques sur les arguments non-interactifs succincts et transparents ainsi qu'à des déploiements industriels.Un problème récurrent dans les constructions de systèmes de preuves probabilistes est celui de tester efficacement la proximité à un code correcteur d'erreurs. Le but est de déterminer si un certain mot appartient à un code linéaire donné, ou bien s'il est éloigné de tout mot de ce code. Les tests de proximité à des codes polynomiaux peuvent être interprétés comme des tests de bas degré. Par exemple, un important sous-protocole utilisé dans de nombreuses constructions pratiques est un ''IOP of Proximity'' pour les codes de Reed-Solomon (Ben-Sasson et al., ICALP 2018).Dans cette thèse, nous proposons dans le modèle IOP des protocoles permettant de vérifier la proximité à des codes correcteur d'erreurs.En nous inspirant du test de proximité pour les codes de Reed-Solomon de Ben-Sasson et al., nous commençons par formuler un cadre abstrait et générique pour construire des ''IOPs of Proximity'' pour des codes linéaires et en analysons formellement les propriétés. Nous appliquons ensuite cette méthodologie à différentes familles de codes généralisant les codes de Reed-Solomon. Il s'agit d'une part de codes définis à partir d'évaluations de polynômes multivariés et, d'autre part, de codes de géométrie algrébrique définis sur des courbes. Nos protocoles permettent de tester la proximité à des codes présentant des propriétés attrayantes par rapport aux codes de Reed-Solomon (telles que des alphabets de petite taille), tout en ayant une efficacité similaire à la construction de Ben-Sasson et al.

Probabilistic proof systems, such as probabilistically checkable proofs, interactive proofs, and zero-knowledge proofs, feature the common characteristic of having a probabilistic verification procedure. Notably, such proof systems are at the heart of cryptographic protocols that enable polylogarithmic-time verification of very long computations. Generalizing both PCPs and IPs, the Interactive Oracle Proof (IOP) model has been introduced in 2016 by Ben-Sasson, Chiesa and Spooner. The IOP model has attracted a lot of interest since its introduction, leading to both interesting theoretical results related to efficient transparent succinct non-interactive arguments and industrial deployments.A recurrent problem in constructions of probabilistic proof systems is that of testing proximity to an error-correcting code. The goal is to determine whether a certain word belongs to a given linear code, or if it is far from any codeword of that code. Proximity tests for polynomial codes are often called low degree tests. A notable building-block of several IOP-based constructions is a concretely efficient IOP of Proximity for testing proximity to Reed-Solomon codes (Ben-Sasson et al., ICALP 2018).In this thesis, we propose protocols in the IOP model for verifying proximity to error-correcting codes.Based on the proximity test for Reed-Solomon codes designed by Ben-Sasson et al., we formulate and analyze an abstract and generic framework to construct IOPs of Proximity for linear codes. We then apply this methodology to different families of codes that generalize Reed-Solomon codes. These are, on the one hand, codes defined from evaluations of multivariate polynomials and, on the other hand, algebraic geometry codes defined on curves. Our protocols have similar efficiency parameters compared to the construction of Ben-Sasson et al., and allow efficient proximity testing for families of codes with attractive properties compared to Reed-Solomon codes (such as small alphabet sizes).