Equations de Maxwell en présence de méta-matériaux

Maxwell's equations in presence of metamaterials

• Auteur / Autrice : Mahran Rihani
• Direction : Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/02/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation
• Jury : Président / Présidente : Eric Bonnetier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel, Eric Bonnetier, Annalisa Buffa, Serge Nicaise, Patrick Joly, Sébastien Tordeux, Xavier Claeys
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Annalisa Buffa, Serge Nicaise

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mandelstam, Représentation de

Électrotechnique -- Matériaux

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Singularités de coin

Équations de Maxwell

Ondes de trou noir

Conditions de radiation

Principe de Mandelstam

Principe d'absorption limite

Théorie de Kondratiev

Méthode des domaines fictifs

Contrôle et optimisation

Homogénéisation

Maxwell’s equations

Corner singularities

Black hole waves

Radiation conditions

Mandelstam principle

Limiting absorption principle

Kondratiev theory

Fictitious domain method

Control and optimization

Homogenization

Résumé

Le sujet principal de cette thèse est l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques, en régime harmonique, dans un milieu hétérogène composé d’un diélectrique et d’un matériau négatif (c’est-à-dire avec une permittivité diélectrique négative ε et/ou une perméabilité magnétique négative μ) qui sont séparés par une interface avec une pointe conique. En raison du changement de signe de ε et/ou μ, les équations de Maxwell peuvent être mal posées dans les cadres classiques (basés sur l’espace L2). D’autre part, nous savons que lorsque les deux problèmes scalaires associés, impliquant respectivement ε et μ, sont bien posés dans H1, les équations de Maxwell sont bien posées. En combinant la méthode de la T-coercivité avec l’analyse de Mellin dans les espaces de Sobolev à poids, nous présentons, dans la première partie de ce travail, une étude détaillée de ces problèmes scalaires. Nous prouvons que pour chacun d’entre eux, le caractère bien posé dans H1 est perdu si et seulement si le contraste associé appartient à un ensemble critique appelé intervalle critique. Ces intervalles correspondent aux ensembles de contrastes négatifs pour lesquels des singularités propagatives, aussi appelées ondes de trou noir, apparaissent à l’extrémité de la pointe. Contrairement au cas d’un coin 2D, pour une pointe 3D, plusieurs ondes de trou noir peuvent exister. Des expressions explicites de ces intervalles critiques sont obtenues pour le cas particulier des pointes coniques circulaires. Pour les contrastes critiques, en utilisant le principe de radiation de Mandelstam, nous construisons des cadres fonctionnels dans lesquels le caractère bien posé des problèmes scalaires est restauré. Le cadre physiquement pertinent est sélectionné par un principe d’absorption limite. En outre, nous présentons, dans la deuxième partie de ce travail, une nouvelle méthode numérique pour les problèmes scalaires dans le cas des contrastes non-critiques. Cette approche, contrairement aux techniques existantes, ne nécessite pas d’hypothèses supplémentaires sur le maillage au voisinage de l’interface. La troisième partie de la thèse concerne l’étude des équations de Maxwell avec un ou deux coefficients critiques. En utilisant de nouveaux résultats de potentiels vecteurs dans des espaces de Sobolev à poids, nous expliquons comment construire de nouveaux cadres fonctionnels pour les problèmes électrique et magnétique, qui sont directement liés à ceux obtenus pour les deux problèmes scalaires associés. Si l’on utilise le cadre qui respecte le principe d’absorption limite pour les problèmes scalaires, alors les cadres fournis pour les problèmes électrique et magnétique sont également cohérents avec le principe d’absorption limite. Enfin, la dernière partie porte sur des résultats d’homogénéisation des équations de Maxwell harmoniques et des problèmes scalaires associés dans un domaine 3D qui contient une distribution périodique d’inclusions faites de matériau négatif. En utilisant l’approche de la T-coercivité, nous obtenons des conditions sur les contrastes telles que le processus d’homogénéisation est possible pour les problèmes scalaires et vectoriels. De façon peu intuitive, nous montrons que les matrices homogénéisées associées auxproblèmes limites sont soit définies positives, soit définies négatives.

The main subject of this thesis is the study of time-harmonic electromagnetic waves in a heterogeneous medium composed of a dielectric and a negative material (i.e. with a negative dielectric permittivity ε and/or a negative magnetic permeability μ) which are separated by an interface with a conical tip. Because of the sign-change in ε and/or μ, the Maxwell’s equations can be ill-posed in the classical L2 −frameworks. On the other hand, we know that when the two associated scalar problems, involving respectively ε and μ, are well-posed in H1, the Maxwell’s equations are well-posed. By combining the T-coercivity approach with the Mellin analysis in weighted Sobolev spaces, we present, in the first part of this work, a detailed study of these scalar problems. We prove that for each of them, the well-posedeness in H1 is lost iff the associated contrast belong to some critical set called the critical interval. These intervals correspond to the sets of negative contrasts for which propagating singularities, also known as black hole waves, appear at the tip. Contrary to the case of a 2D corner, for a 3D tip, several black hole waves can exist. Explicit expressions of these critical intervals are obtained for the particular case of circular conical tips. For critical contrasts, using the Mandelstam radiation principle, we construct functional frameworks in which well-posedness of the scalar problems is restored. The physically relevant framework is selected by a limiting absorption principle. In the process, we present a new numerical strategy for 2D/3D scalar problems in the non-critical case. This approach, presented in the second part of this work, contrary to existing ones, does not require additional assumptions on the mesh near the interface. The third part of the thesis concerns Maxwell’s equations with one or two critical coefficients. By using new results of vector potentials in weighted Sobolev spaces, we explain how to construct new functional frameworks for the electric and magnetic problems, directly related to the ones obtained for the two associated scalar problems. If one uses the setting that respects the limiting absorption principle for the scalar problems, then the settings provided for the electric and magnetic problems are also coherent with the limiting absorption principle. Finally, the last part is devoted to the homogenization process for time-harmonic Maxwell’s equations and associated scalar problems in a 3D domain that contains a periodic distribution of inclusions made of negative material. Using the T-coercivity approach, we obtain conditions on the contrasts such that the homogenization results is possible for both the scalar and the vector problems. Interestingly, we show that the homogenized matrices associated with the limit problems are either positive definite or negative definite.