Contributions à la théorie du contrôle des systèmes non-linéaires en dimension infinie

Contributions to infinite-dimensional nonlinear control theory

• Auteur / Autrice : Nicolas Vanspranghe
• Direction : Christophe Prieur, Francesco Ferrante
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique et productique
• Date : Soutenance le 19/07/2022
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale électronique, électrotechnique, automatique, traitement du signal (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Grenoble Images parole signal automatique (2007-....) - GIPSA - Infinite Dimensional Dynamics (GIPSA-INFINITY)
• Jury : Président / Présidente : Gildas Besançon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Andrieu, Mario Sigalotti, Gustavo Artur De Andrade
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Eduardo Cerpa, Lucie Coline Baudouin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Semigroupes d'opérateurs

Équations d'onde

Systèmes non linéaires

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Stabilisation

Régulation de sortie

Equations aux dérivées partielles

Equation des ondes

Saturation

Semi-Groupes de contractions

Stabilization

Output regulation

Partial differential equations

Wave equation

Saturation

Contraction semigroups

Résumé

.Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes de stabilisation et de régulation de sortiepour des systèmes non-linéaires en dimension infinie. Tout d’abord, nous analysons la stabilitéd’une équation des ondes en dimension un d’espace, soumise à un retour stabilisant non-linéairede type Neumann à une extrémité et à une condition au bord dynamique non-linéaire à l’autreextrémité du domaine. Ce modèle s’inspire de la propagation de vibrations de torsion le long detrains de forage, la condition au bord dynamique représentant un anti-amortissement non-linéaireà l’interface avec la roche, qui peut déstabiliser le dispositif. La stabilité exponentielle de l’ensembledes solutions stationnaires est examinée avec une approche type Lyapunov. Dans un second temps,nous considérons une équation des ondes multi-dimensionnelle soumise à un contrôle non-linéaireet non-local de type Dirichlet sur une partie de la frontière. Le caractère bien posé du problèmeen boucle fermée ainsi que la stabilité asymptotique sont établis à l’aide de techniques issues dela théorie des semi-groupes de contractions combinées au principe d’invariance de LaSalle et à unrésultat de continuation unique pour les ondes. Lorsque la non-linéarité dans le contrôle a unecroissance linéaire autour de zéro, nous démontrons que l’énergie des solutions fortes décroît demanière polynomiale. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons au problème de régulationà sortie constante pour une classe de systèmes abstraits régis par des semi-groupes decontractions sur des espaces de Hilbert. Notre approche repose sur la technique du « forwarding »,originellement développée pour la stabilisation de systèmes non-linéaires de dimension finie encascade. Nous proposons des conditions suffisantes pour l’existence d’une loi de commande dynamiquemenant le système à un équilibre où la sortie coïncide avec la référence. Ces conditionssont étudiées en détail dans le cas des systèmes semi-linéaires, et des exemples d’illustration sontdonnés.

.This thesis concerns the problems of feedback stabilization and output regulation for infinitedimensionalnonlinear systems. First, we study the stability of a one-dimensional wave equationwith a nonlinear velocity feedback at one extremity of the domain and a nonlinear dynamic boundarycondition at the other end. This model is inspired by the behavior of torsional vibrations alongdrill strings, and the boundary dynamics represent a nonlinear anti-damping at the rock-bit interfacethat renders the uncontrolled plant unstable. Exponential stability of the set of stationnarysolutions is investigated by Lyapunov methods. In a second part, we consider the multi-dimensionalwave equation supplied with a nonlinear and nonlocal Dirichlet feedback control acting on a part ofthe boundary. Well-posedness and asymptotic stability of the closed-loop dynamics are establishedusing nonlinear contraction semigroup arguments combined with the LaSalle invariance principleand unique continuation for waves. When the feedback nonlinearity has linear growth around zero(e.g., in the case of saturating feedback), polynomial energy decay rates are derived for strong solutions.In the final part of the thesis, we are interested in constant output regulation of a classof abstract infinite-dimensional systems governed by nonlinear contraction semigroups on Hilbertspaces. The approach we propose relies on the so-called forwarding methodology, which was originallydeveloped for the stabilization of finite-dimensional nonlinear cascade systems. We givesufficient conditions for the existence of a dynamic control law that steers the system to some equilibriumat which the output coincides with the reference. These conditions are then investigatedin the particular case of semilinear systems and illustrated by example