Fluctuations d'interfaces et diagrammes de phases de systèmes de spins en dimension 2

Fluctuating interfaces and phase diagram of spin systems in dimension 2.

• Auteur / Autrice : Romain Durand
• Direction : Vincent Beffara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/10/2022
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Marie Théret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Oriane Blondel, Margherita Disertori, Sana Louhichi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Dereudre, Yvan Velenik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ising, Modèle d'

Cristaux liquides nématiques

Mots clés libres

Interfaces

Systèmes de spins

Mesures extremales

Pirogov-Sinai

Interactions coeur dur

Phase nématique

Interfaces

Spin systems

Extremal measures

Pirogov-Sinai

Hardcore interactions

Nematic phase

Résumé

Ce travail de thèse porte sur l'étude des diagrammes de phases de systèmes de spins ferromagnétiques à très basse température en dimension 2. En partant d'outils développés pour le modèle d'Ising - qui est le mieux compris de cette classe de modèles - on cherche à illustrer le lien entre les fluctuations d'interfaces macroscopiques obtenues en forçant la coexistance de deux phases distinctes et la complétude du diagramme de phases, c'est-à-dire la description exhaustive de l'ensemble des mesures du système. Certains de ces outils sont de nature géométrique et peuvent être adaptés à une classe de modèles de spins assez large pourvu que l'on dispose d'une notion d'interface ayant les bonnes propriétés. On présentera ces outils ainsi que des pistes pour les appliquer à des modèles de spins autres que le modèle d'Ising.La motivation principale de ce travail est de comprendre le diagramme de phases d'un système de longs bâtons interagissant par contrainte coeur dur. Ce modèle, introduit initialement pour comprendre des systèmes de longs polymères présents dans des cristaux liquides, présente une structure microscopique complexe rendant son étude exacte compliquée. Toutefois, en introduisant une bonne notion de spins, on peut associer à chaque configuration de bâtons une configuration de spins et ainsi pouvoir utiliser les techniques correspondantes. Une des contributions principales de ce travail de thèse est de montrer via un résultat d'unicité conditionnelle que pour montrer la complétude du diagramme de phase du système microscopique de bâtons, il suffit de la montrer pour le système de spins associé.

This work revolves around the study of phase diagrams of ferromagnetic spin systems at very low temperature in dimension 2. Starting from tools that were developped in the framework of the Ising model - which is the model of this class which we understand best - we try to illustrate the link between the fluctuation of macroscopic interfaces created by forcing the coexistence of two distinct phases and the completeness of the phase diagram, i.e. the complete description of the set of measures for the system. Some of these tools are of geometric nature and can be adaptated to a large class of spin models provided that they have a good notion of interfaces. We present those tools as well as some leads to adaptate them to some more general spin models.Our main motivation is to understand the phase diagram of a system of long hard rods with hardcore interaction. Introduced initially to understand some system of elongated polymers that can be found in liquid crystals, this model has a complex microscopic complex that makes its exact study complicated. However, by indroducing a good notion of spins, we can associate to each rod configuration a spin configuration and thus we can use the associated techniques. One of the main contributions of this work is to show with a result of conditionnal uniqueness that if we can solve the completeness of the phase diagram for the spin system, it is enough to derive the same result for the associated rod system.