Techniques de faisceaux et géométrie symplectique

Sheaf techniques and symplectic geometry

• Auteur / Autrice : Bingyu Zhang
• Direction : Damien Gayet, Claude Viterbo, Stéphane Guillermou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/09/2022
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Klaus Niederkrüger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yuichi Ike, Baptiste Chantraine, Erwan Lanneau
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vivek Shende, Eric Zaslow

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre homologique

Géométrie symplectique

Mots clés libres

Algèbre homologique

Géométrie Symplectique

Faisceau

Sheaves

Homological algebra

Symplectic geometry

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la structure algébrique et la géométrie du complexe de Chiu-Tamarkin, qui est un outil pour étudier la géométrie symplectique à l'aide de la théorie microlocale des faisceaux. Les principaux résultats de la thèse sont organisés en deux parties : structure et calcul.Pour la partie structure, nous rappelons d'abord le complexe de Chiu-Tamarkin Z/`-équivariant C_{ell,T}(U,bK). Nous exposons une variante du produit de Yoneda. Il généralise le cup-produit habituel sur l'anneau de cohomologie d'une variété et le produit de Chas-Sullivan sur la topologie des cordes. Ensuite, nous définissons le complexe de Chiu-Tamarkin S^1-équivariant C^{S^1}_T(U,bK) en utilisant une structure cyclique sur le noyau microlocal. Enfin, nous construisons différentes capacités symplectiques associées à différentes versions du complexe de Chiu-Tamarkin. En particulier, la structure cyclique explique pourquoi nous avons besoin de la version /ell pour la preuve du théorème de non-squeezing de contact.Pour la partie calcul, nous présentons les calculs du complexe de Chiu-Tamarkin pour les domaines toriques convexes et les fibrés en disques unitaires. Pour les domaines toriques convexes, nous démontrons un théorème de structure qui nous aide à calculer les capacités. Le calcul implique que nos capacités sont les mêmes que les capacités de Gutt-Hutchings pour les domaines toriques convexes. Pour les fibrés en disques unitaires, nous prouvons un isomorphisme de Viterbo, qui est un isomorphisme d'algèbres entre le complexe de Chiu-Tamarkin du fibré de disques unitaires et la topologie des cordes de la base.

In this thesis, we study the algebra structure and geometry of the Chiu-Tamarkin complex, which is a tool to study symplectic geometry using the microlocal theory of sheaves. The main results of the thesis are organized into two parts: structure and computation.On the structure part, we first review the Z/ell-equivariant Chiu-Tamarkin complex C_{ell,T}(U,bK). We exhibit a variant of the Yoneda product. It generalizes the usual cup product on the cohomology ring of a manifold and the Chas-Sullivan product on the string topology. Next, we define the S^1-equivariant Chiu-Tamarkin complex C^{S^1}_T(U,bK) using a cyclic structure on the microlocal kernel. Finally, we construct different symplectic capacities associated with different versions of the Chiu-Tamarkin complex. In particular, the cyclic structure explains why we need Z/ell-version on the proof of the contact non-squeezing theorem.On the computational part, we present the computations of the Chiu-Tamarkin complex for convex toric domains and unit disk bundles. For convex toric domains, we demonstrate a structure theorem that helps us to compute the capacities. The computation implies that our capacities are the same as the Gutt-Hutchings capacities for convex toric domains. For the unit disk bundle, we prove a Viterbo isomorphism, which is an algebra isomorphism between the Chiu-Tamarkin complex of the unit disk bundle and the string topology of the base.