Un cadre général pour les équations différentielles tropicales

A general framework for tropical differential equations

• Auteur / Autrice : Stefano Mereta
• Direction : Andréa Pulita, Jeffray Herschel Giansiracusa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/06/2022
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes en cotutelle avec University of Swansea (Swansea (GB))
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) - Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Jean Fasel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gleb Pogudin, Edwin J. Beggs, Nelly Villamizar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Omid Amini, Fuensanta Aroca

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Berkovich

Algèbre différentielle

Géométrie tropicale

Mots clés libres

Géometrie tropicale

Algèbre différentielle

Equations differentielles tropicales

Tropical geometry

Differential algebra

Tropical differential equations

Résumé

L'objectif principal de mon travail est de construire un raffinement du cadre de Grigoriev qui enregistre les valuations des coefficients dans une solution de série de puissance afin que l'information de convergence soit codée dans les solutions tropicales. On développe une théorie des différentielles sur les semi-anneaux idempotents dans laquelle la règle de Leibniz habituelle est affaiblie en une règle de Leibniz tropicale, et on construit des algèbres différentielles tropicales libres.Une paire tropicale S=(S_1-->S_0) est un semi-anneau différentiel tropical S_1 et un homomorphisme à un semi-anneau S_0. Les coefficients des équations différentielles tropicales vivent dans S_0. Les solutions vivent dans S_1 (où elles peuvent être différenciées), mais la condition qui teste si quelque chose est une solution a lieu dans S_0. Nous pensons que S_0 enregistre le comportement au prèmier ordre des éléments de S_1. L'exemple principal d'une paire tropicale a S_1 = T[[t]], S_0 = R^2_lex U {∞} est une version de rang 2 du semi-anneau tropical, et la fonction S_1-->S_0 envoie at^n + ... dans (n,a).Nous énonçons maintenant les principaux résultats de manière informelle:Théorème AOn construit une catégorie de S-algèbres, et à un ensemble E d'équations différentielles tropicales sur S on associe un objet de cette catégorie tel que les morphismes vers une S-algèbre Z sont en bijection naturelle avec solutions de E à valeurs dans Z.Un système d'équations différentielles algébriques sur un corps K est représenté par une K-algèbre différentielle A. Pour tropicaliser A, nous avons besoin de deux données supplémentaires:- Une valuation non archimédienne sur K prenant des valeurs dans un semi-anneau idempotent S_0, et un rehaussement différentiel de la valuation, qui est une application A-->S_1 qui commute avec le différentiels.- Un système de générateurs x_i in A tel que A soit présenté comme un quotient d'une algèbre de Ritt K{x_1,...,x_n} -->> A. Toute algèbre différentielle A admet une présentation universelle K{x_a|a in A}-->>A. Tropicalisant cette présentation, on retrouve :Théorème BLa tropicalisation de A par rapport à sa présentation universelle est la colimite de ses tropicalisations par rapport aux présentations finies. Enfin, nous fournissons des preuves de la pertinence de nos définitions et de notre contexte en prouvant un analogue différentiel du théorème du limite inverse de Payne. Rappelons que, étant donnée une algèbre A sur un corps non archimédien K, l'ensemble sous-jacent de l'analytification de Berkovich de Spec A est l'ensemble de toutes les seminormes multiplicatives sur A qui sont compatibles avec la valuation sur K. Supposons maintenant que K soit un anneau différentiel, la valuation v sur K a un rehaussement différentielle v' prenant des valeurs dans une paire tropicale S, et A est un algèbre différentielle sur K. Dans ce cadre, étant donné une S-algèbre Z=(Z_1-->Z_0), nous pouvons considérer l'ensemble de toutes les paires (w,w') où w: A-->T_0 est une valuation multiplicative sur A compatible avec v et w': A-->T_1 est une rehaussement différentielle de w compatible avec v'. Nous appelons cela l'espace différentiel de Berkovich de A à valeur en Z, noté Berk_{Z}(A).Théorème CIl existe une valuation universelle avec un rehaussement différentiel sur A, que prend des valeurs dans la tropicalisation de la présentation universelle de A. Donc cette tropicalization coreprésente le foncteur Z-->Berk_{Z}(A).En combinant cela avec le théorème B, nous obtenons immédiatement notre analogue différentiel du théorème limite inverse de Payne.Corollaire ASoit K un anneau différentiel avec une valuation non archimédienne et un enhaussement différentiel prenant des valeurs dans S, soit A une algèbre différentielle sur un K, et Z soit une S-algèbre. L'ensemble Berk_{Z}(A) est isomorphe à la limite inverse des ensembles de solutions à valeur Z des tropicalisations de toutes les présentations finies de A.

The main purpose of this work is to build a refinement of Grigoriev's framework that records the valuations of the coefficients in a power series solution so that convergence information is encoded in tropical solutions. We develop a theory of differentials on idempotent semirings where the usual Leibniz rule is weakened to a tropical Leibniz rule, and construct free tropical differential algebras.A tropical pair mathbf{S}=(S_1 to S_0) is a tropical differential semiring S_1 and a homomorphism to a semiring S_0. The coefficients of tropical differential equations live in S_0. Solutions live in S_1 (where they can be differentiated), but the condition that tests if something is a solution takes place in S_0. We think of S_0 as recording the leading behaviour of elements of S_1. The primary example of a tropical pair has S_1 = mathbb{T}[[t]], S_0 = mathbb{R}^2_mathit{lex} U {infty} is a rank 2 version of the tropical semiring, and the map S_1 to S_0 sends at^n + … to (n,a).We now state out main results informally, in the case of free differential F_1-modules with n generators.Theorem AWe construct a category of mathbf{S}-algebras, and to a set E of tropical differential equations over mathbf{S} we associate an object of this category such that morphisms to an mathbf{S}-algebra mathbf{T} are in natural bijection with solutions to E with values in mathbf{T}.A system of algebraic differential equations over a field K is represented in coordinate-free form by a differential K-algebra A. To tropicalize A, we need two pieces of additional data:- A non-archimedean valuation on K taking values in an idempotent semiring S_0, and a differential enhancement of the valuation, which is a lifting to a map A to S_1 that commutes with the differential.- A system of generators x_i in A so that A is presented as a quotient of a Ritt algebra K{x_1,…,x_n} -->> A.Any differential algebra A admits a universal presentation K{x_a | a in A} -->> A. Tropicalizing this presentation, we find:Theorem BThe tropicalization of A with respect to its universal presentation is the colimit of its tropicalizations with respect to finite presentations.Finally, we provide evidence for the appropriateness of our definitions and framework by proving a differential analogue of Payne's inverse limit theorem. Recall that, given an algebra A over a non-archimedean field K, the underlying set of the Berkovich analytification of Spec A is the set of all multiplicative seminorms on A that are compatible with the valuation on K. Now suppose that K is a differential ring, the valuation v on K has a differential enhancement widetilde{v} taking values in a pair mathbf{S}, and A is a differential algebra over K. In this setting, given an mathbf{S}-algebra mathbf{T}=(T_1 --> T_0), we can consider the set of all pairs (w,widetilde{w}) where w: A --> T_0 is a multiplicative valuation on A compatible with v and widetilde{w}: A --> T_1 is a differential enhancement of w compatible with widetilde{v}. We call this the mathbf{T}-valued differential Berkovich space of A, denoted mathit{Berk}_{mathbf{T}}(A).Theorem CThere is a universal valuation with differential enhancement on A, and it takes values in the tropicalization of the universal presentation of A. Hence the tropicalization of the universal presentation corepresents the functor mathbf{T} --> mathit{Berk}_{mathbf{T}}(A).Combining this with Theorem B, we immediately obtain our differential analogue of Payne's inverse limit theorem.Corollary ALet K be a differential ring equipped with a non-archimedean valuation and differential enhancement taking values in mathbf{S}, let A be a differential algebra over a K, and let mathbf{T} be an mathbf{S}-algebra. The set mathit{Berk}_{mathbf{T}}(A) is isomorphic to the inverse limit of the mathbf{T}-valued solution sets of the tropicalizations of all finite presentations of A.