Preuve formelle en calcul réseau

Formal proof in network calculus

• Auteur / Autrice : Lucien Rakotomalala
• Direction : Marc Boyer, Pierre Roux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et Télécommunications
• Date : Soutenance le 15/02/2022
• Etablissement(s) : Toulouse, ISAE
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Équipe d'accueil doctoral Modélisation et ingénierie des systèmes (Toulouse, Haute-Garonne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Office national d'études et recherches aérospatiales. Département Traitement de l’Information et Systèmes (DTIS)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Paul Bodeveix
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Boyer, Pierre Roux, Jean-Paul Bodeveix, Yves Bertot, Emmanuel Grolleau, Sophie Quinton, Sylvie Boldo, Jean-Yves Le Boudec
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Bertot, Emmanuel Grolleau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes embarqués (informatique)

Mathématiques -- Informatique

Calcul formel

Mots clés libres

Calcul Réseau

Coq

Réseau temps réel

Calcul dans min-Plus

Network Calculus

Coq

Embedded Networks

Min plus computation

Résumé

De nos jours les avions ne peuvent se passer d'un important réseau embarqué pour faire communiquer les nombreux capteurs et actionneurs qui y sont disséminés. Ces réseaux ayant une fonction critique, en particulier pour les commandes de vol, il est important d'en garantir certaines propriétés telles des délais de traversée ou l'absence de débordement de buffers. Le calcul réseau est une méthode mathématique permettant de réaliser de telles preuves [2]. Elle a joué un rôle clef dans la certification du réseau AFDX, dérivé de l'ethernet, utilisé à bord des avions les plus récents (A380, A350).Le Calcul Réseau se base sur des résultats mathématiques utilisant l'algèbre tropicale. Ces résultats sont relativement simple mais déjà bien assez subtiles pour qu'il soit très facile de commettre des erreurs ou des omissions lors de preuves papier ou de calcul de valeur concrètes. Par ailleurs, les assistants de preuve sont un bon outil pour réaliser une vérification mécanique de ce genre de preuves et obtenir un très haut niveau de confiance dans leurs résultats. Nous formalisons donc avec un tel outil les notions et propriétés fondamentales de la théorie du Calcul Réseau. Ces résultats font intervenir des propriétés sur les nombres réels, tel que des bornes supérieures et des limites de fonctions linéaires donc nous souhaitons utiliser un outil de formalisation capable d'implémenter untel niveau mathématique. Nous utilisons l'assistant de preuve Coq. Il s'agit d'un outil disposant déjà d'un long développement dont la librairie Mathematical Components qui permet de formaliser de l'analyse sur les nombres réels et la construction de structures algébriques comme celles utilisées dans le Calcul Réseau. Le calcul de valeurs effective repose sur des opérations de l'algèbre min-plus sur des fonctions réelles. Des algorithmes sur des sous-ensembles spécifiques peuvent être trouvés dans la littérature [3]. De tels algorithmes et leurs implémentations sont toutefois compliqués. Plutôt que de développer une preuve de la bonne implémentation de ces algorithmes, nous prenons une implémentation existante comme Oracle et nous donnons des critères de vérifications en Coq.[1] Anne Bouillard, Marc Boyer et Euriell Le Corronc. DeterministicNetwork Calculus : From Theory to Practical Implementation. John Wiley& Sons, Ltd, oct. 2018[2] Assia Mahboubi et Enrico Tassi. Mathematical Components. Zenodo,jan. 2021[3] Anne Bouillard et Eric Thierry. « An Algorithmic Toolbox forNetwork Calculus ». In : Discret. Event Dyn. Syst. 18.1 (2008),p. 3-49.

Nowadays aircrafts need a large on-board network to enable themany sensors and actuators disseminated in them to communicate with one another.Since these networks have a critical function, particularly for flight controls,it is important to guarantee certain properties such as crossingdelays or the absence of buffer overflows. Network calculus is amathematical method for performing such proofs. It played a keyrole in the certification of AFDX networks, derived from ethernet, used onboard the most recent aircrafts (A380, A350).Network Calculus is based on relatively simple mathematicalresults but already quite subtle enough that it is very easy to geterrors or omissions during pen and paper proofs. Moreover, proof assistantsare a good tool for mechanically checking such proofs and obtaininga very high level of confidence in their results.We formalize with this tool the fundamental propertiesunderlying the theory of Network Calculus. These results involverelatively basic properties on real numbers, such as upper bounds oreven limits of piecewise linear functions. We use the Coqproof assistant as well as the Mathematical components library.Effective computations rely on operators from the min-plus algebra onreal functions. Algorithms on specific subsets can be found in theliterature. Such algorithms and related implementations arehowever complicated. Instead of redeveloping a provably correctimplementation, we take an existing implementation as an oracle andpropose a Coq based verifier.Anne Bouillard, Marc Boyer et Euriell Le Corronc. DeterministicNetwork Calculus : From Theory to Practical Implementation. John Wiley& Sons, Ltd, oct. 2018Assia Mahboubi et Enrico Tassi. Mathematical Components. Zenodo,jan. 2021Anne Bouillard et Eric Thierry. « An Algorithmic Toolbox forNetwork Calculus ». In : Discret. Event Dyn. Syst. 18.1 (2008),p. 3-49.