Intermittence multifractale de la turbulence forcée et libre étudiée avec le modèle de cascade de gyroscopes

Multifractal intermittency of forced and free turbulence studied with the gyroscope cascade model

• Auteur / Autrice : Xin Li
• Direction : Daniel Schertzer, Yelva Roustan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences de l'Univers et Environnement
• Date : Soutenance le 21/12/2022
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Hydrologie Météorologie et Complexité (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) - Centre d'Enseignement et de Recherche en Environnement Atmosphérique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Claude Cambon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Schertzer, Yelva Roustan, Klaus Fraedrich, Ioulia Tchiguirinskaia, Jisun Lee
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Klaus Fraedrich
• DOI : 10.70675/a422b221z1eb5z4232zaf37zdbc2f2507b20

Mots clés

Mots clés contrôlés

Turbulence

Multifractales

Équations de Navier-Stokes

Mots clés libres

Turbulence. intermittence

Multifractalité

Le modèle SGC

Loi de décroissance de l'énergie libre

Terme de rétrodiffusion. interactions triadiques non locales

Turbulence. intermittency

Multifractality

The SGC model

Free energy decay law

Backscatter term. nonlocal triad interactions

Résumé

La turbulence est l'un des problèmes fondamentaux non résolus de la physique classique, en dépit de sa manifestation dans de nombreux domaines, y compris l'ingénierie, par exemple dans l'énergie éolienne. Ceci est lié à notre manque de connaissance des propriétés des équations déterministes 3D de Navier-Stokes (NS) aussi fondamentales que l'existence et l'unicité de ses solutions. Cela n'empêche pas les chercheurs et les ingénieurs de l'utiliser. À l'aide de méthodes statistiques, le mécanisme de la turbulence a été partiellement révélé, comme le processus de transfert d'énergie. Par exemple, des modèles de fermeture de la turbulence, tels que le modèle quasi-normal à amortissement turbulent markovianisé (EDQNM), ont été introduits pour tenir compte partiellement de la hiérarchie infinie des équations des moments statistiques générée par le terme non linéaire des équations de Navier-Stokes. Ils ont mis en évidence la possibilité d'une rétrodiffusion de l'énergie du pic du spectre énergétique vers les plus gros tourbillons et donc une modification de la loi de décroissance de l'énergie de la turbulence.  Cependant, ces avancées ne prennent pas en compte la caractéristique fondamentale de la turbulence : l'intermittence, qui signifie que la turbulence est extrêmement hétérogène et conduit à une grande divergence entre les preuves empiriques et ces modèles. Nous avons donc choisi le modèle déterministe Scaling Gyroscope Cascade (SGC), pour étudier la multifractalité de l'intermittence. Le SGC est basé sur une discrétisation parcimonieuse de la forme de Bernoulli des équations de NS dans l'espace de Fourier qui préserve bien l'interaction de la triade d'un tourbillon parent et de ses tourbillons enfants, générant étape par étape une forte intermittence. Tout d'abord, les codes Python pour les trois méthodes de simulation numérique explicite - la méthode d'Euler, la méthode de Runge-Kutta du quatrième ordre et la méthode d'Adams-Bashforth asservie - sont présentés et testés afin de déterminer l'approche de simulation numérique la plus efficace pour le modèle SGC. Il ressort que la méthode d'Euler est la méthode de simulation numérique la plus efficace en comparant le temps d'exécution et la mémoire maximale. En outre, la structure spatiale du modèle SGC suggère que la complexité de calcul augmente de manière exponentielle avec le nombre d'étapes de la cascade. Ensuite, l'intermittence du modèle SGC à de grands pas de cascade est étudiée en injectant différents forçages. L'existence de fluctuations spatio-temporelles est confirmée à l'aide d'une analyse statistique du flux d'énergie dans le domaine inertiel. La distribution de probabilité de ces fluctuations présente des ailes queues beaucoup plus épaisses que celles d'une distribution gaussienne. Pour obtenir un aperçu plus détaillé, l'analyse est poursuivie dans le cadre de l'Universal Multifractal (UM), basé sur des cascades multiplicatives stochastiques qui sont à la fois stables et attractives. Ces cascades sont déterminées par seulement quelques paramètres UM qui sont physiquement significatifs pour tout modèle de cascade, y compris le SGC. Parmi les différents résultats obtenus, nous démontrons que l'indice clé de multifractalité est significativement inférieur à 2, remettant ainsi en cause le modèle log-normal encore souvent utilisé pour la turbulence hydrodynamique. Enfin, nous revisitons à l'aide du SGC la décroissance d'énergie d'une turbulence libre en tenant compte de l'intermittence. En raison de cette dernière, la mise en évidence du terme de rétrodiffusion d'énergie est plus complexe à démontrer, ainsi que ses impacts sur la loi de décroissance de l'énergie. Mais la phénoménologie reste la même, bien qu'avec des effets d'intermittence, par exemple, l'énergie est stockée à grande échelle par bouffées, et non plus de manière continue.

Turbulence is one of the fundamental unresolved problems of classical physics, despite its manifestation in many fields, including engineering, for example in wind energy. This is linked to our lack of knowledge of properties of the deterministic 3D Navier-Stokes (NS) equations as basic as the existence and uniqueness of its solutions. This doesn't prevent researchers and engineers from using it. With the help of statistical methods, the mechanism of turbulence has been partially revealed, such as the energy transfer process. For instance, turbulence closure models, such as the Eddy Damped Quasi-Normal Markovian model, have been introduced to partially account for the infinite hierarchy of moment equations caused by the non-linear term in the NS equation. They have highlighted the possibility of backscattered energy from the energy spectrum peak to the largest eddies and therefore modification of the energy decay law of turbulence.However, these advancements do not take into account the fundamental characteristic of turbulence: intermittency, which means that turbulence is extremely heterogeneous and leads to a large discrepancy between the empirical evidence and these models.We therefore chose the deterministic Scaling Gyroscope Cascade (SGC) model, to investigate the multifractality of intermittency. SGC is based on a parsimonious discretisation of the Bernoulli's form of the NS equations in Fourier space that well preserves the triad interaction of a parent eddy and its child eddies, generating step by step a strong intermittency.Firstly, the Python codes for the three explicit numerical simulation methods - the Euler method, the fourth order Runge-Kutta method and the slaved Adams-Bashforth method - are presented and tested to determine the most efficient numerical simulation approach for the SGC model.It comes out that the Euler method is the most effective numerical simulation method by comparing the running time and maximum memory.Besides, the spatial structure of the SGC model suggests that the computing complexity increases exponentially with the number of cascade steps.Then, the intermittency of SGC model at large cascade steps is investigated by injecting various forcings. The existence of spatial-temporal fluctuations is confirmed with the help of a statistical analysis of the energy flux in the inertial range. The probability distribution of these fluctuations has tails that are much heavier than those of a Gaussian distribution. To get more detailed insights, the analysis is pursued in the Universal Multifractal (UM) framework, based on stochastic multiplicative cascades that are both stable and attractive. These cascades are determined by only a few UM parameters that are physically meaningful for any cascade models , including the SGC.Among the various obtained results, we demonstrate that the key multifractality index is significantly less than 2 thus questioning the log-normal model still often used for hydrodynamic turbulence.Last but not least, we revisit with the help of SGC the energy decay of a free turbulence taking into account the intermittency. Due to the latter, the evidence of the energy backscatter term is more complex to demonstrate, as well as its impacts on the energy decay law. But the phenomenology remains the same, although with intermittency effects, e.g., energy is stored at large scales by puffs, no longer in a continuous manner.