Problèmes d'homogénéisation elliptique en présence de défauts

Elliptic homogenization problems with defects

• Auteur / Autrice : Rémi Goudey
• Direction : Claude Le Bris
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/10/2022
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Cardaliaguet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Le Bris, Matthieu Bonnivard, Jean-François Babadjian, Adina Ciomaga, Isabelle Gruais
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matthieu Bonnivard, Jean-François Babadjian

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homogénéisation (équations différentielles)

Analyse multiéchelle

Équations différentielles elliptiques

Mots clés libres

Homogénéisation

Equations aux dérivées partielles elliptique

Défauts

Problèmes multi-Échelles

Correcteurs

Taux de convergence

Homogenization

Elliptic partial differential equations

Defects

Multiscale problems

Correctors

Convergence rates

Résumé

Le travail de cette thèse a porté sur plusieurs problèmes d'homogénéisation d'équations elliptiques linéaires dans un cadre de coefficients oscillants non périodiques. Les classes de coefficients considérées sont supposées modéliser des géométries périodiques perturbées par des défauts de différentes natures. L'objectif de ces problèmes est d'expliciter les limites homogénéisées de suites de solutions quand un paramètre d'échelle tend vers 0 tout en précisant le taux de convergence. La principale difficulté de notre cadre est la résolution d'équations dites du correcteur associées à ces problèmes, équations linéaires elliptiques posées sur des ouverts non bornés. Dans une première partie, on traite l'homogénéisation du problème de diffusion sous forme divergence quand le coefficient est une perturbation non locale d'un coefficient périodique. La perturbation ne disparaît jamais mais devient rare à l'infini. On prouve l'existence d'un correcteur adapté, on identifie la limite homogénéisée et on étudie la taux de convergence de la suite de solutions vers sa limite homogénéisée. La deuxième partie traite également de l'homogénéisation du problème de diffusion mais dans le cas de coefficients presque invariants par translation à l'infini. La géométrie est alors caractérisée par l'intégrabilité à l'infini d'un certain gradient discret du coefficient, supposé appartenir à un espace de Lebesgue pour un exposant donné. Quand l'exposant de Lebesgue est strictement inférieur à la valeur de la dimension ambiante, on établit une adaptation discrète de l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev afin de montrer que le coefficient appartient à une classe de coefficients périodiques perturbés par un défaut local. On prouve alors l'existence d'un correcteur et on identifie la limite homogénéisée de la suite de solutions. Dans le cas où l'exposant de Lebesgue est supérieur à la dimension, on exhibe des coefficients pour lesquels la suite de solutions possède plusieurs valeurs d'adhérence. Finalement, dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation d'un problème de type Schrödinger stationnaire avec un potentiel oscillant appartenant à une classe particulière de potentiels périodiques perturbés par des défauts potentiellement non localisés dans l'espace. On montre à nouveau l'existence d'un correcteur adapté et on prouve la convergence de la suite de solutions vers une limite homogénéisée.

The purpose of this work is the homogenization of several second order linear elliptic equations with non-periodic oscillating coefficients. The classes of coefficients we consider are assumed to model periodic geometries perturbed by various types of defects. The aims of these problems are to identify the homogenized limit of sequences of solutions as a small scale parameter vanishes and to make precise the convergence rate, for several topologies. The main difficulty that arises in our settings is the study of the so-called corrector equations associated with these problems, which are posed on unbounded domains.First, we consider an homogenization problem for the diffusion equation in divergence form when the coefficient is a non-local perturbation of a periodic coefficient. The perturbation does not vanish but becomes rare at infinity. We prove the existence of a corrector, identify the homogenized limit and study the convergence rates of the sequence of solutions to its homogenized limit.The second part also regards the homogenization of the diffusion problem but, in this part, the coefficient is assumed to be almost translation-invariant at infinity. The geometry is then characterized by the integrability at infinity of a particular discrete gradient of the coefficient. In particular, this discrete gradient is assumed to belong to a Lebesgue space for a given exponent. When the Lebesgue exponent is less than the value of the ambient dimension, we establish a discrete adaptation of the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality in order to show that the coefficient actually belongs to a certain class of periodic coefficients perturbed by a local defect. We next prove the existence of a corrector and we identify the homogenized limit of the sequence of solutions. When the Lebesgue exponent is equal to or greater than the value of the ambient dimension, we exhibit admissible coefficients such that the sequence of solutions possesses different subsequences that converge to different limits.Finally, in the third part, we consider the homogenization of the stationary Schrödinger equation with an highly oscillatory potential that belongs to a particular class of periodic potentials perturbed by possibly non-local defects. We show the existence of an adapted corrector and prove the convergence of the sequence of solutions to an homogenized limit.