Généralisation multi-espèces du processus d'exclusion simple totalement asymétrique : intégrabilité et aspects hydrodynamiques

Multi-Species Generalization of the Totally Asymmetric Simple Exclusion Process : Integrability and Hydrodynamic Aspects

• Auteur / Autrice : Ali Zahra
• Direction : Jean Avan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique - ED EM2PSI
• Date : Soutenance le 29/11/2022
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Physique Théorique et Modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 2002-....)
• Jury : Président / Présidente : Flora Koukiou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Avan, Kirone Mallick, Gunter M. Schutz, Luigi Cantini, Sylvain Prolhac, Filippo Colomo
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Kirone Mallick, Gunter M. Schutz

Mots clés

Mots clés libres

Asep

Ansatz de Bethe

Limit hydrodynamique

Bethe ansatz

Asep

Hydrodynamic limit

Résumé

Les processus d'exclusion à une dimension sont apparus pour la première fois dans les années 70 et ont depuis attiré beaucoup d'attention de la part des communautés dans différents domaines : processus stochastiques, physique statistique hors équilibre, et plus récemment systèmes intégrables. Alors que l'état de l'art pour un processus d'exclusion simple totalement asymétrique (TASEP) d'une seule espèce peut être décrit, sous différents aspects comme mature, on en sait beaucoup moins lorsque plusieurs espèces en interaction sont présentes. En utilisant des outils issus des systèmes intégrables et de l'hydrodynamique en premier lieu et des processus stochastiques en second lieu, ce travail tente d'étudier le comportement d'une nouvelle version du modèle avec différentes espèces de particules ayant une dynamique hiérarchique qui dépend de paramètres arbitraires.Alors que l'équation de Burger représente la limite hydrodynamique de TASEP avec une seule espèce, nous présentons un système couplé d'EDP représentant la limite hydrodynamique pour un modèle avec deux espèces. Les solutions de ces EDP présentent une riche phénoménologie de solutions mieux caractérisée par les modes normaux sous-jacents. Nous discutons du problème de Riemann associé et validons nos résultats par des simulations numériques.Ce système à deux espèces peut être utilisé comme un modèle jouet pour étudier les systèmes diffusifs pilotés avec des bords ouverts. En utilisant des heuristiques, nous présentons des résultats suggérant un principe général régissant le diagramme de phase induit par les frontières des systèmes avec de multiples quantités conservées couplées, généralisant ainsi le principe du courant extrémal connu pour le cas d'une seule quantité entraînée.L'aspect intégrabilité de notre étude concerne principalement le développement d'un formalisme permettant le calcul de la distribution de probabilité en temps fini des positions des particules sur le réseau à 1D, généralisant ainsi les résultats connus pour TASEP et d'autres modèles multi-espèces.Nous étudions enfin le comportement et l'impact d'une seule impureté de seconde classe initialement située à l'interface séparant deux régions de densités différentes de particules de première classe. Différentes formes limites sont déduites et observées. En utilisant des outils de la théorie des probabilités, nous généralisons les propriétés de vitesse asymptotique de l'impureté pour un régime des taux.

Exclusion processes in one dimension first appeared in the 70s and have since dragged much attention from communities in different domains: stochastic processes, out of equilibriums statistical physics, and more recently integrable systems. While the state of the art for a single species totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) can be described, from different aspects as mature, much less is known when multiple interacting species are present. Using tools from integrable systems and hydrodynamics in the first place and stochastic processes in the second place, this work attempts to study the behavior of a novel version of the model with different species of particles having hierarchical dynamics that depend on arbitrary parameters.While Burger's equation famously represents the hydrodynamic limit of TASEP with a single species, we present a counterpart coupled system of PDE representing the hydrodynamic limit for a model with two species. The solutions of these PDEs display a rich phenomenology of solutions best characterized through the underlying normal modes. We discuss the associated Riemann problem and validate our results with numerical simulations.This system with two species can be used as a toy model for studying driven diffusive systems with open boundaries. Using heuristics, we present results suggesting a general principle governing the boundary induced phase diagram of systems with multiple coupled driven conserved quantities, generalizing thus the extremal current principle known for the case of a single driven quantity.The integrability side of our study is mainly concerned with developing a formalism allowing the computation of the finite-time probability distribution of particle positions on the 1D lattice, generalizing therefore known results for TASEP and other multi-species models.We finally study the behavior and the impact of a single second class impurity initially located at the interface separating two regions of different densities of first class particles. Different limit shapes are deduced and observed. Using tools from probability theory, we generalize the asymptotic speed properties of the impurity for a regime of the hopping parameters.