Méthode intégrale avec une condition d’impédance d’ordre élevé pour résoudre le problème de Maxwell en régime harmonique

Integral method with a high-order impedance boundary condition to solve Maxwell's problem in harmonic regime

• Auteur / Autrice : Molka Kacem
• Direction : Christian Daveau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques - EM2PSI
• Date : Soutenance le 24/05/2022
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Analyse, géométrie et modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 1993-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Bourlier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Daveau, Maher Moakher, Bernard Bandelier, Soumaya Oueslati
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Maher Moakher

Mots clés

Mots clés libres

Equations de Maxwell

Discrétisation

Condition d'impédance

Rwg

Problème de diffraction

Equations intégrales de surface

Scattering problem

Surface integral equations

Maxwell equations

Discretization

Impedance condition

Rwg

Résumé

La variété des méthodes qui ont été imaginées pour résoudre les problèmes d'électromagnétisme est considérable et le développement des outils de calculs qui les mettent en oeuvre ne faiblit pas. Aussi stupéfiants que soient les progrès des moyens de calcul, la complexité des situations réelles que l'on cherche à traiter augmentent à proportion, tout effort pour améliorer la rapidité et/ou la précision des calculs est justifié. Le formalisme des équations intégrales occupe une place particulière. D'une part il est à la fois général et exact, ce qui en fait un outil de référence, d'autre part les calculs numériques qui en découlent prennent la forme des systèmes linéaires qui se prêtent à l'utilisation de méthode de résolution efficaces. Depuis, le domaine pratique d'intervention des équations intégrales n'a cessé de s'élargir. Ce mémoire de thèse est constitué de 10 chapitres. Le premier chapitre est consacré à l’analyse théorique du problème de diffraction d’ondes électromagnétiques par un corps diélectrique, à l’aide de formulations intégrales de surface. L’analyse du problème est alors menée en commençant par dériver une formulation intégrales surfacique avec une condition d'impédance aux frontière. Après justification de l’équivalence de ces formulations au problème de diffraction, la formulation couplée est utilisée pour analyser le problème. (Cette analyse est basée sur des résultats standard de Lax-Milgram pour les équations intégrales, et permet de dériver quelques propriétés de l’équation intégrale surfacique). L’analyse du problème de diffraction est faite sous l’hypothèse plus réaliste de la discontinuité de la permittivité électrique à travers le bord du diélectrique. Cette hypothèse rend l’étude aussi valable pour des matériaux composés de plusieurs diélectriques, où il y a plusieurs surfaces de discontinuité pour la permittivité. Cette thèse fournit deux méthodes de discrétisation des opérateurs intégraux issus du problème variationnel du problème de diffraction. Ensuite, nous validons ces deux nouvelles méthodes avec des tests numériques sur des géométries simples et complexes.

The variety of methods which have been imagined to solve the problems of electromagnetism is considerable and the development of the calculation tools which implement them does not weaken. As amazing as the advances in computational means may be, the complexity of the real situations that one seeks to deal with increases proportionately, any effort to improve the speed and/or accuracy of the calculations is justified. The formalism of integral equations occupies a special place. On the one hand it is both general and exact, which makes it a reference tool, on the other hand the resulting numerical calculations take the form of linear systems which lend themselves to the use of effective resolution methods. . Since then, the practical field of intervention of integral equations has continued to expand. This thesis is made up of 10 chapters. The first chapter is devoted to the theoretical analysis of the problem of diffraction of electromagnetic waves by a dielectric body, using integral surface formulations. The analysis of the problem is then carried out by first deriving a surface integral formulation with a boundary impedance condition. After justification of the equivalence of these formulations to the diffraction problem, the coupled formulation is used to analyze the problem. (This analysis is based on standard Lax-Milgram results for integral equations, and allows to derive some properties of the areal integral equation). The analysis of the diffraction problem is made under the more realistic assumption of the discontinuity of the electrical permittivity across the edge of the dielectric. This assumption makes the study also valid for materials composed of several dielectrics, where there are several surfaces of discontinuity for the permittivity. This thesis provides two methods of discretization of the integral operators resulting from the variational problem of the diffraction problem. Then, we validate these two new methods with numerical tests on simple and complex geometries.