Thèse soutenue

Factorisation de systèmes dynamiques discrets

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Auteur / Autrice : Sara Riva
Direction : Enrico FormentiAlberto Dennunzio
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 21/11/2022
Etablissement(s) : Université Côte d'Azur en cotutelle avec Università degli studi di Milano - Bicocca
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
Jury : Président / Présidente : Julien Cervelle
Examinateurs / Examinatrices : Enrico Formenti, Alberto Dennunzio, Julien Cervelle, Stefan Haar, Sébastien Verel, Sylvain Sené, Sergiu Ivanov, Pedro Paulo Balbi de Oliveira
Rapporteurs / Rapporteuses : Stefan Haar, Sébastien Verel

Mots clés

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Résumé

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Un Système Dynamique Fini à temps Discret (SDD) est constitué d'un ensemble fini X, dit espace des états, et d'une fonction f, dite fonction de mise à jour (associant à un état v l'état f(v)). Les SDD sont un outil formel pour modéliser de nombreux phénomènes en physique, en mathématique, en biologie, et, bien sûr en informatique. Si la formalisation mathématique et les résultats qui en découlent sont élégants et parlants, souvent, ces résultats sont peu applicables en pratique à cause de leur coût computationnel élevé. Dans la littérature, il est connu que les SDD équipés d'opérations de somme et de produit appropriées forment un semi-anneau commutatif. Cette structure algébrique nous permet d'écrire des équations polynomiales dans lesquelles les coefficients et les inconnues sont des SDD. En particulier, si nous sommes intéressés par une certaine dynamique dérivée de données expérimentales, nous pouvons écrire une équation avec celle-ci comme terme de droite constant et modéliser des hypothèses sur la fonction f (ou ses propriétés) dans un terme de gauche polynomial. Trouver des solutions à cette équation permet de mieux comprendre le phénomène et ses propriétés. Cette approche est intéressante mais pose des limites computationnelles importantes. En effet, résoudre une équation polynomiale (à plusieurs variables) est, en général, indécidable et même en se concentrant sur le cas de la validation des hypothèses, le coût computationnel reste élevé. L'idée est alors de chercher des approximations donnant des informations pertinentes sur les solutions de l'équation originale. Trois abstractions (équations plus simples) sont introduites afin d'identifier : le nombre d'états des variables, le comportement asymptotique ou le comportement transient (comportement avant que le système se stabilise). Chaque abstraction est construite d'un point de vue théorique et algorithmique dans le but d'introduire une méthode pour effectuer la validation d'hypothèses sur SDD. Dans cette thèse, il est montré qu'au moyen de transformations algébriques, il est possible d'énumérer les solutions d'une équation polynomiale avec un terme droit constant par l'énumération d'un nombre fini d'équations plus simples. Enfin, le lien entre la résolution ces équations simples et le problème de la cancellation connu en théorie des graphes est exploré. Cela a permis de trouver une borne supérieure linéaire sur le nombre de solutions.