Étiquetages d'arêtes, colorations de sommets et jeux combinatoires sur des graphes
Auteur / Autrice : | Foivos-Sotirios Fioravantes |
Direction : | Nicolas Nisse |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 26/09/2022 |
Etablissement(s) : | Université Côte d'Azur |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) |
Jury : | Président / Présidente : Olivier Togni |
Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Nisse, Olivier Togni, Eric Sopena, Mariusz Wozniak, Julien Bensmail, Théo Pierron | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Sopena, Mariusz Wozniak |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse considère deux familles de problèmes définis sur des graphes : les étiquetages d'arêtes propres et les jeux combinatoires. Nous traitons ces problèmes de façon similaire (et classique) : nous montrons que les problèmes considérés sont difficiles à résoudre, puis nous trouvons des algorithmes efficaces sur des instances restreintes.Nous nous concentrons d'abord sur des problèmes concernant des étiquetages propres de graphes. Pour un entier k fixé, un k-étiquetage d'un graphe G est une fonction associant à chaque arête de G une étiquette parmi {1, . . . , k}. Un k-étiquetage induit une coloration des sommets de G, où chaque sommet reçoit comme couleur la somme des étiquettes de ses arêtes incidentes. Un k-étiquetage est propre si, dans la coloration induite, deux sommets adjacents de G reçoivent des couleurs différentes. D'après la Conjecture 1-2-3, tout graphe connexe d'ordre au moins 3 admet un 3-étiquetage propre. Nous considérons trois variantes de cette conjecture. Nous étudions les k-étiquetages propres équilibrés, pour lesquels les étiquettes assignées apparaissent dans les mêmes proportions. La deuxième variante concerne les étiquetages propres qui minimisent la somme des étiquettes utilisées. Enfin, nous nous intéressons aux 3-étiquetages propres qui minimisent le nombre de fois où l'étiquette 3 est attribuée. Le choix d'étudier ces variantes est naturel. En effet, une version équilibrée de la Conjecture 1-2-3 est que presque tous les graphes G admettent un 3-étiquetage propre équilibré. En outre, la somme des étiquettes d'un tel étiquetage est au plus égale à 2|E(G)| et associe l'étiquette 3 à au plus un tiers des arêtes de G. Nous prouvons que les problèmes d'optimisation introduits sont NP-difficiles. Grâce à des résultats structurels et algorithmiques, nous sommes amenés à proposer de nouvelles conjectures pour ces problèmes, que nous vérifions sur quelques classes de graphes (complets, bipartis, réguliers, 3-chromatiques, etc.). Notre travail renforce l'idée que des variantes plus fortes de la Conjecture 1-2-3 pourraient être vraies. Nous terminons en considérant le problème consistant à trouver un plus grand sous-graphe induit d'un graphe donné qui admet un 1-étiquetage propre. Il est prouvé que ce problème est difficile à résoudre et qu'il n'est pas approximable à un facteur O(|V (G)|^(1-1/c)) près pour tout entier c. Néanmoins, nous fournissons des algorithmes paramétrés efficaces.La deuxième partie de la thèse introduit le jeu du plus grand sous-graphe connexe Maker-Breaker, joué par deux joueurs, Alice et Bob, sur un graphe G, initialement non coloré. Les joueurs colorent à tour de rôle les sommets de G, chacun avec sa couleur, jusqu'à ce que tous les sommets soient colorés. Alice est la gagnante si, à la fin, le plus grand sous-graphe connexe de G induit par sa couleur est d'ordre au moins k, un entier fixé. Sinon, Bob gagne le jeu. Nous considérons aussi une version Maker-Maker du même jeu, dans laquelle le gagnant est le joueur dont la couleur induit le plus grand sous-graphe connexe de G à la fin du jeu. Nous prouvons que décider de l'issue de ces deux jeux est PSPACE-difficile et nous fournissons des algorithmes efficaces pour le cas où le jeu se déroule dans certaines familles de graphes (chemins, cycles, cographes, (q, q-4)-graphes, etc.). En comparant ces deux jeux, la principale différence que nous observons est que Bob ne peut jamais gagner la version Maker-Maker (si Alice joue de manière optimale). Pour une valeur de k égale à la moitié de l'ordre de G, remarquons que si Alice peut gagner la version Maker-Breaker alors elle peut aussi construire un sous-graphe connexe du même ordre dans la version Maker-Maker ; de tels graphes sont nommés A-parfaits. Nous étudions les graphes réguliers qui sont A-parfaits et prouvons que tout graphe 3-régulier A-parfait a au plus 132 sommets. Nous terminons en fournissant des conditions suffisantes pour qu'un graphe soit A-parfait.