Problèmes d’intersections improbables en arithmétique

Problems of unlikely intersections in arithmetic

• Auteur / Autrice : Emanuele Tron
• Direction : Yuri Bilu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 16/12/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Pascal Autissier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florian Luca
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabien Mehdi Pazuki, Fabrizio Barroero

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes algébriques

Arithmétique

Théorie des nombres

Mots clés libres

Intersections improbables

Conjecture d'André-Oort

Points spéciaux

Modules singuliers

Problèmes de PGCD

Conjecture d'Ailon-Rudnick

Unlikely intersections

André-Oort conjecture

Special points

Singular moduli

GCD problems

Ailon-Rudnick conjecture

Résumé

Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant dela théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avecdes méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre,on considère un problème de type André-Oort dont la preuvenon-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre lecas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modulessinguliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstrationcombine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes duj-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relationlinéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne uneborne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a xG_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, oncontinue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques,et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. Onconsidère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique,pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéauxde l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété deAilon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combinedes arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.

In this thesis, we consider some problems, coming from the theory of unlikely intersections, that can be solved by mostly arithmetical means. In the first chapter, we consider a problem of André--Oort type whose non-effective proof was given by Pila and Tsimerman. Here we prove the effective n=3 case: that is, we bound the triples of singular moduli that are multiplicatively dependent. The proof combines a detailed analysis of archimedean properties of the j-invariant with Galois arguments. In the second chapter, we give a bound of Bugeaud--Corvaja--Zannier type for the algebraic group G_a x G_m; the proofs are elementary. In the third chapter, we come back to GC problems for algebraic groups, and we show the strong Ailon--Rudnick property for G_a x G_m. Then we consider the group G_a x E, E an elliptic curve, for which one can define a GCD sequence indexed by ideals of the complex multiplication ring. We show an analogous Ailon--Rudnick property for this generalized sequence. The proof combines elementary sieve arguments with the study of reductions of E modulo primes.