Sur quelques problèmes d'optimisation de sous-graphes pour les réseaux

On some subgraph optimization problems for networks

• Auteur / Autrice : Shih-Shun Kao
• Direction : Ralf Klasing, Sun-Yuan Hsieh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 14/12/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec National Cheng Kung University (Taiwan)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Casteigts
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ling-Ju Hung, Florent Foucaud
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Yaping Mao, Chia-Wei Lee

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réseaux complexes (mathématiques)

Analyse de réseau (planification)

Arbres (théorie des graphes) -- Informatique

Mots clés libres

Problème d'optimisation de sous-Graphes

Arbres couvrants indépendants

Problèmes d'emplacement du hub

Problème de k-Sous-Graphe le plus dense

Surveillance des arêtes à distance

Subgraph optimization problem

Hub location problems

Independent spanning trees

Densest k-Subgraph problem

Distance edge-Monitoring

Résumé

Cette thèse contribue de plusieurs manières à la littérature existante.Arbres couvrants indépendants dans les réseaux. Kao et al. ont proposé un algorithme pour construire n-1 ISTs de Bn et ont montré que l'algorithme a une efficacité amortie optimale pour la construction d'arbres multiples. En particulier, chaque sommet peut déterminer son parent dans chaque arbre d'extension en temps constant amorti. L'algorithme est exécuté dans une fonction récursive et est donc difficile à paralléliser. Dans cette thèse, nous présentons un algorithme parallèle pour construire n-1 ISTs dans les réseaux Bn de type bubble-sort. Notre approche peut être entièrement parallélisée, c'est-à-dire que chaque sommet peut déterminer son parent dans chaque arbres couvrant en temps constant. De plus, nous montrons que la complexité temporelle totale O(n x n!) de notre algorithme est asymptotiquement optimale, où n est la dimension de Bn et n! est le nombre de sommets du réseau.Problème de k-sous-graphe le plus dense. Nous montrons que pour tout β > 1/2, Δβ-WDkS est NP-difficile. Nous prouvons que Δβ-WDkS peut être approximé à un facteur près 1/2β + (2β-1)/(2β-(2k-3)) pour tout β > 1/2. De plus, nous montrons comment modifier tout algorithme d'approximation α pour Δ-WDkS afin d'obtenir un algorithme d'approximation δα,β pour Δβ-WDkS pour tout 1/2 < β < 1.Surveillance des arêtes d'un graphe en utilisant les distances. Nous montrons que pour un graphe connecté non trivial graphe connecté G d'ordre n, 1 ≤ dem(G) ≤ n-1 avec dem(G) = 1 si et seulement si G est un arbre, et dem(G) = n-1 si et seulement si c'est un graphe complet. Nous calculons la valeur exacte valeur exacte de dem pour les grilles, les hypercubes, et les graphes bipartis complets. Ensuite, nous relions dem à d'autres paramètres standard des graphes. Nous montrons que dem(G) est limité par l'arboricité du graphe, et que dem(G) est limité par l'arboricité du graphe. arboricité du graphe, et supérieurement limitée par son nombre de couvertures de sommets. Nous montrons que Nous montrons que la détermination de dem(G) pour un graphe d'entrée G est un problème NP-complet, même pour les graphes à apex (graphes obtenus à partir d'un graphe planaire en ajoutant un sommet supplémentaire). Il existe un algorithme d'approximation à facteur logarithmique en temps polynomial, cependant il est NP-difficile de calculer une approximation asymptotiquement meilleure, même pour les graphes bipartis de petit diamètre et pour les graphes bipartis subcubiques. Pour de telles instances, le problème est également problème n'est pas non plus traitable à paramètre fixe lorsqu'il est paramétré par la taille de la solution.Problèmes de localisation de hub. Nous étudions les problèmes de localisation des nœuds. Nous classifions les problèmes, et nous présentons les modèles de base pour différentes variations des HLP. En outre, nous passons en revue certains modèles qui n'ont pas été pris en compte dans les articles précédents. En outre, certaines approches de solution sont présentées.

There are several ways in which this thesis contributes to the existing literature.Independent spanning trees in networks. Kao et al. proposed an algorithm to construct n−1 ISTs of Bn and showed that the algorithm has optimal amortized efficiency for multiple trees construction. In particular, every vertex can determine its parent in each spanning tree in constant amortized time. The algorithm is executed in a recursive function and thus is hard to parallelize. In this thesis, we present a parallel algorithm to construct n−1 ISTs in bubble sort networks Bn. Our approach can be fully parallelized, i.e., every vertex can determine its parent in each spanning tree in constant time. Furthermore, we show that the total time complexity O(n · n!) of our algorithm is asymptotically optimal, where n is the dimension of Bn and n! is the number of vertices of the network.Densest k-subgraph problem. We show that for any β > 1/2, Δβ-WDkS is NPhard. We prove that Δβ-WDkS can be approximated to within a factor 1/2β + (2β−1)/(2β·(2k−3)) for any β > 1/2. Moreover, we show how to modify any α-approximation algorithm for Δ-WDkS to obtain a δα,β-approximation algorithm for Δβ-WDkS for every 1/2 < β < 1.Monitoring the edges of a graph using distances. We show that for a nontrivial connected graph G of order n, 1 ≤ dem(G) ≤ n−1 with dem(G) = 1 if and only if G is a tree, and dem(G) = n−1 if and only if it is a complete graph. We compute the exact value of dem for grids, hypercubes, and complete bipartite graphs. Then, we relate dem to other standard graph parameters. We show that dem(G) is lower-bounded by the arboricity of the graph, and upper bounded by its vertex cover number. We show that determining dem(G) for an input graph G is an NP-complete problem, even for apex graphs (graphs obtained from a planar graph by adding an extra vertex). There exists a polynomial-time logarithmic-factor approximation algorithm, however it is NP-hard to compute an asymptotically better approximation, even for bipartite graphs of small diameter and for bipartite subcubic graphs. For such instances, the problem is also unlikey to be fixed parameter tractable when parameterized by the solution size.Hub location problems. We survey hub location problems. We classify the problems, and present the basic models for different variations of HLPs. In addition, we review some models that have not been considered in previous review papers. Also, some solution approaches are presented.