Développement d'un modèle numérique de propagation dispersive de tsunamis

Development of a numerical model of dispersive propagation of tsunamis

• Auteur / Autrice : Aurore Cauquis
• Direction : Mario Ricchiuto, Philippe Heinrich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 29/11/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Astrid Decoene
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maria Kazolea, Michel Bergmann, Maria Kazakova
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Dias, Nicolas Seguin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Ondes -- Propagation

Tsunamis

Mots clés libres

Propagation de vagues

Dispersion

Méthodes numeriques

Numerical methods

Dispersion

Wave propagation

Résumé

Les tsunamis générés par des effondrements de terrain se caractérisent par des longueurs d'onde courtes et des amplitudes élevées, comparées à la profondeur. Leur propagation est soumise à la dispersion fréquentielle. Dans le cadre des missions de surveillance du Département Analyse Surveillance Environnement (DASE) du CEA, l'enjeu est de simuler numériquement ces tsunamis d'origine gravitaire et d'estimer les hauteurs d'inondation. Actuellement, la génération du tsunami est simulée en champ proche par un code dédié, tandis que leur propagation est simulée en champ lointain par le code TAITOKO. Ce code est également utilisé par le Centre français d'alerte aux tsunamis (CENALT), hébergé par le CEA, dont la mission est de prévoir les hauteurs d'eau des tsunamis d'origine tectonique à l'arrivée sur les c^otes françaises et de lancer les alertes. La propagation de ces des tsunamis d'origine gravitaire en Méditerrannée peut ^etre dispersive pour des séismes de magnitude inférieure à 7 environ. Jusqu'à présent, la propagation dispersive pour les tsunamis d'origine gravitaire ou tectonique est modélisée en résolvant les équations de Boussinesq standard. Ce modèle de Boussinesq considère les vagues faiblement dispersives et faiblement non linéaires, mais ne peut pas traiter de vague fortement non-linéaire ou fortement dispersive. Le caractère dispersif est pourtant essentiel dans les configurations qui nous intéressent. L'objectif de cette thèse est d'implémenter dans TAITOKO une nouvelle approche permettant de traiter les ondes courtes non linéaires. Nous utilisons pour celà un modèle de Boussinesq amélioré qui est résolu numériquement avec une nouvelle méthode basée sur une combinaison de différences finies centrées d'ordre 4 (DF4) et d'une méthode d'intégration en temps originale de type Lax-Wendroff simplifié d'ordre 3 appelée LW3e. Plusieurs méthodes d'intégration temporelle résolvant les équations de Boussinesq améliorées 1D sont implémentées et comparées à travers une analyse spectrale et la modélisation de benchmarks dispersifs [9]. La nouvelle approche LW3e-DF4 génère des résultats aussi précis que la méthode Runge-Kutta d'ordre 3 (RK3) avec un temps de calcul réduit de 35-40% en 1D. La méthode LW3e-FD4 est ensuite étendue au 2D en prenant soin de préserver certains états stationnaires physiquement pertinents, ainsi que certaines symétries des opérateurs différentiels impliqués. Cette dernière propriété semble ^etre cruciale pour la stabilité de la méthode. Les équations qui permettent l'évaluation des termes dispersifs dans le système 2D sont interdépendantes. La discrétisation des termes dispersifs conduit à un grand système d'équations algébriques. Plusieurs formulations et méthodes d'inversion de matrices ont été mises en oeuvre pour résoudre ce système. L'efficacité de ces méthodes est comparée avec une implémentation séquentielle. La combinaison formulation-méthode d'inversion la plus efficace est obtenue en séparant la résolution des deux équations en équations pseudo monodimensionnelles en ligne/colonne, ce qui permet l'utilisation d'itérations de la méthode de Gauss-Seidel. L'implémentation 2D parallélisée est validée par des cas multidimensionnels qui confirment l'efficacité de la nouvelle méthode LW3e-DF4 par rapport à une méthode classique RK3-DF4.

Tsunamis generated by landslides are characterized by short wavelengths and high amplitudes, relative to depth. Their propagation is subject to frequency dispersion. Within the framework of the monitoring missions of the CEA's Department of Analysis, Surveillance and Environment (DASE), the challenge is to numerically simulate these tsunamis of gravity origin and to estimate the inundation heights. Currently, tsunami generation is simulated in the near field by a dedicated code while their propagation is simulated in the far field by the TAITOKO code. This code is also used by the French Tsunami Warning Center (CENALT), hosted by the CEA, and whose mission is to predict the water level on the French coast for tsunamis of tectonic origin and to launch alerts. The propagation in Mediterranean Sea of tsunamis of gravity origin can be dispersive for earthquakes of magnitude less than about 7. Until now, the dispersive propagation for tsunamis of tectonic or gravity origin is modeled by solving the standard Boussinesq equations. This Boussinesq model handles well the weakly dispersive and weakly nonlinear waves, but cannot handle strong nonlinearity or strong dispersion. This PhD's aim is to implement in TAITOKO a new approach which will allow to handle nonlinear and short waves. The starting point is an enhanced Boussinesq model which is numerically solved with a novel efficient high order finite difference based method. The approach proposed is based on a combination of fourth order centered finite differencing (FD4), combined with an original third order simplified Lax-Wendroff type time stepping called LW3e. Several temporal integration methods solving the 1D enhanced Boussinesq equations are implemented and compared through a spectral analysis and the modelling of dispersive benchmarks. We use a formulation adapted to Lax-Wendroff methods and assess the efficiency of an explicit approximation of the third-order accurate Lax-Wendroff method called LW3e method [9]. The new LW3e-FD4 approach generates results as accurate as the third-order accurate Runge-Kutta method (RK3) with a computational time reduced by 35-40% in 1D. The LW3e-FD4 method is then extended to 2D. This extension has carefully taken into account the issues of preserving some physically relevant stationary states (well balanced), as well as certain symmetries of the differential operators involved. The latter property appears to be crucial for the stability of the method. The equations defined in the 2D system which allow the evaluation of the dispersive terms are interdependent. The discretization of the dispersive terms leads to a large system of sparse algebraic equations. Several formulations and several matrix inversions methods have been implemented to solve this system. The efficiency of these methods is compared in sequential implementation. The most efficient combination formulation-inversion method is obtained with a splitted formulation allowing pseudo one-dimensional row/column Gauss-Seidel iterations. The 2D parallelized implementation is validated through multidimensional cases which confirms the efficiency of the new LW3e-FD4 method compared to a classical RK3-FD4 method.