Méthodes d’ordre élevé pour les systèmes hyperboliques : des frontières immergées aux schémas préservant la structure

High order methods for hyperbolic balance laws : from embedded fronts to structure-preserving schemes

• Auteur / Autrice : Mirco Ciallella
• Direction : Mario Ricchiuto, Renato Paciorri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 22/09/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche Inria de l'université de Bordeaux (Bordeaux)
• Jury : Président / Présidente : Angelo Iollo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mario Ricchiuto, Renato Paciorri, Francesco Nasuti, Stéphane Clain, Alina Chertock, Lisl Weynans, Aldo Bonfiglioli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Francesco Nasuti, Stéphane Clain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation, Méthodes de

Mécanique des fluides

Euler, Équations d'

Équations différentielles hyperboliques

Mots clés libres

Équations hyperboliques

Méthodes d’ordre élevé

Frontières immergées

Shock tracking

Positivité préservée

Well balancing

Hyperbolic equations

High order methods

Embedded boundaries

Shock tracking

Positivity preserving

Well balancing

Résumé

Les équations différentielles partielles peuvent être utilisées pour décrire de nombreux phénomènes physiques qui se produisent en ingénierie et en physique. Parmi eux, les équations hyperboliques sont très importantes lors de la modélisation de processus physiques comme la mécanique des fluides: En particulier, nous nous concentrons ici sur les équations d’Euler pour la dynamique des gaz et les équations des eaux peu profondes pour les écoulements à surface libre. En raison de la structure mathématique de ces systèmes, aucune solution analytique n’est généralement disponible. Pour cette raison,nous devons recourir à des méthodes numériques pour les approximer. Le but de ces méthodes est d’approcher avec précision les solutions de ces problèmes avec le coût de calcul le plus bas. Afin d’exploiter au mieux la puissance et les architectures des ordinateurs modernes, des méthodes d’ordre élevé ont été introduites afin de fournir un avantage par rapport aux méthodes traditionnelles. Leur principal avantage est la possibilité d’obtenir des erreurs de discrétisation plus faibles sur des grilles plus grossières. Cependant, elles s’accompagnent de certains défis liés aux conditions aux bords et à la limitation des chocs, que nous aborderons dans le manuscrit. De plus, il est difficile de prouver, pour ces méthodes, leur capacité à préserver certaines propriétés physiques. Pour les problèmes de dynamique des fluides, on est principalement intéressé par le maintien, au niveau discret, de niveaux positifs de variables spécifiques (par exemple, la hauteur de l’eau et la densité d’un gaz) et à la conservation des états stationnaires (par exemple, le lac au repos). Bien qu’il soit trivial d’y penser, la préservation de ces propriétés physiques au niveau discret n’est pas automatique et les schémas doivent être correctement conçus pour cela. Plusieurs techniques de discrétisation ont été développées et testées sur des problèmes difficiles.

Partial Differential Equations can be used to describe many physical phenomena that arise in engineering and physics. Among them, hyperbolic balance laws are very important when modeling physical processes like fluid mechanics: in particular, herein, we focus on the Euler equations for gasdynamics and shallow water equations for free surface lows. Due to the mathematical structure of these systems, in general, no analytical solution is available. For this reason, we have to rely on numerical methods to approximate them. The goal of such methods is to accurately approximate the solutions of these problems with the lowest computational cost. In order to exploit at best modern computer power and architectures, high-order methods have been introduced to provide an advantageous alternative to low order schemes. Their main advantage is the capability of obtaining lower discretization errors on coarser grids. However, they come with some challenges related to boundary conditions and shock limiting, which we will address in the manuscript. In addition to this, it is difficult to prove, for such methods, their capability of preserving some physical properties. For fluid dynamics problems, one is mainly interested in maintaining, at the discrete level, positive levels of specific variables (e.g. water height and density) and in conserving stationary states (e.g. lake at rest). Although trivial to think about it, the preservation of these physical properties at the discrete level is not automatic and schemes must be properly designed for that. Several discretization techniques have been developed and tested on challenging problems.