Autour de la marche aléatoire de l'éléphant

About the elephant random walk

• Auteur / Autrice : Lucile Laulin
• Direction : Bernard Bercu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 02/06/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Kilian Raschel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Bercu, Nina Gantert, Jean Bertoin, Mireille Bousquet-Mélou, Marc Arnaudon, Hélène Guérin, Adrien Richou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nina Gantert, Jean Bertoin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse combinatoire

Marches aléatoires (mathématiques)

Martingales (mathématiques)

Mots clés libres

Marche aléatoire

Estimation

Martingale

Urnes de polya

Random walk

Estimation

Martingale

Polya urns

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire de l'éléphant. Cette marche aléatoire s'appelle ainsi car elle possède un paramètre de mémoire, et il est bien connu que les éléphants ont une excellente mémoire et se souviennent de tous les endroits qu'ils ont visités. On va établir des résultats probabilistes de types lois des grands nombres et normalité asymptotique, mais aussi des lois du logarithme itéré et des lois fortes quadratiques à l'aide de martingales.On commence par généraliser la marche de l'éléphant pour toute dimension en utilisant des processus de comptage des pas dans chaque direction de la dimension. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique du centre de masse de la marche aléatoire de l'éléphant. On est amené à introduire deux martingales de sorte que leur étude simultanée permet d'obtenir des résultats analogues à ceux de la marche de l'éléphant. On réutilise ensuite cette approche afin d'étudier la marche de l'éléphant avec mémoire renforcée linéairement et la marche aléatoire de l'éléphant avec une amnésie progressive. On propose aussi une étude statistique explicite de l'estimation de la mémoire. Enfin, on présente une approche martingale pour l'étude des urnes de Pólya à deux couleurs.

This thesis focuses on the study of the elephant random walk (ERW) and the processes related to it, using martingales. The ERW a stochastic process with a memory parameter introduced at the beginning of the 2000s and which induces three regimes of behavior. We aim to obtain probabilistic results such as laws of large numbers and asymptotic normality, as well as laws of iterated logarithm and quadratic strong laws.We start by generalizing the elephant random walk to dimensions greater than 2 using counting processes of the steps in each direction of the dimension. Then, we are interested in the center of mass of the elephant random walk. We introduce two martingales such that studying them simultaneously makes it possible to obtain results analogous to those of the elephant random walk. This approach is used again to study the random walk with linearly reinforced memory or smooth amnesia. We also propose an explicit statistical analysis to estimate the memory. Finally, we present a martingale approach for the study of two-color Pólya urns.