Seminormalisation et fonctions régulues

Seminormalization and regulous functions.

• Auteur / Autrice : François Bernard
• Direction : Jean-Philippe Monnier, Goulwen Fichou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 21/11/2022
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) - Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Etienne Mann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Benoist, Susanna Zimmermann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérémy Blanc, Claus Scheiderer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anneaux (algèbre)

Variétés algébriques

Mots clés libres

Normalisation

Seminormalisation

Fonctions régulues

Fonctions rationnelles continues

Normalization

Seminormalization

Regulous functions

Continuous rational functions

Résumé

Dans le cadre de la géométrie algébrique réelle, Fichou, Monnier et Quarez ont mis en lumière une corrélation entre la seminormalisation, les fonctions rationnelles continues et les fonctions régulues (une classe de fonctions récemment introduite en géométrie réelle). Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que cette corrélation existe également en géométrie algébrique complexe et nous approfondissons le concept de fonctions régulues complexes. Nous donnons plusieurs caractérisations de ces fonctions et en fournissons de nombreux exemples. La seconde partie de la thèse est consacrée à l’étude de la «R-seminormalisation», une variante de la seminormalisation adaptée au cadre de la géométrie algébrique réelle. Nous montrons que cet objet possède une propriété universelle du même type que celle de la seminormalisation classique. Puis, nous identifions de différentes manières les éléments de son anneau de coordonnées et donnons des exemples de constructions de la R-seminormalisation. Enfin, nous montrons comment cet objet modifie les singularités d’une variété en établissant un lien entre la R-seminormalisation, la seminormalisation et la «normalisation birégulière» introduite récemment en géométrie réelle.

In the context of real algebraic geometry, Fichou, Mon nier and Quarez highlighted a strong connection between seminormalization, rational continuous functions and regulous functions (a class of functions extensively studied in real algebraic geometry). In the first part of this thesis, we show that the same is true for complex varieties, and we explore the concept of complex regulous functions. We manage to give several characterizations of these functions, and we provide many examples. The second part of this thesis is devoted to the study of the "R-seminormalization", a variant of the seminormalization for real varieties. We show that it has a universal property of the same kind as the one of the seminormalization. Then we identify, by several different ways, the coordinate ring of the R-seminormalization and we give some examples of its construction. Finally, we explain how the R-seminormalization modifies the singularities of a variety by showing how it is linked with the semi normalization and the "biregular normalization" which as been recently introduced in real algebraic geometry.