Thèse soutenue

Conjecture de rosenfeld
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Charbel Bou Hanna
Direction : Abdallah AssiAmine El SahiliMaydoun Mortada
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 09/12/2022
Etablissement(s) : Angers en cotutelle avec Université Libanaise. Faculté des Sciences (Beyrouth, Liban)
Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies du numérique, de l’Information et de la Communication (Nantes)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
Jury : Président / Présidente : László Szalay
Examinateurs / Examinatrices : Salman Ghazal, Zeina Ghazo Hanna
Rapporteurs / Rapporteuses : Maurice Pouzet

Résumé

FR  |  
EN

Ma thèse de Doctorat est basée sur un sujet très intéressant en Théorie de Graphe : Le tournoi.En 1934, Rédei a prouvé que tout tournoi contient un chemin Hamiltonien direct. En 1971, Grünbaum a prouvé que tout tournoi contient tout chemin Hamiltonien antidirect avec exactement trois exceptions. Un circuit d'ordre trois, un tournoi régulier d'ordre cinq et un tournoi de Paley d'ordre sept ne contiennent pas un chemin Hamiltonien antidirect. En 1972, Rosenfeld, inspiré par le résultat de Grünbaum, propose la conjecture suivante: Conjecture de Rosenfeld: il existe k≥ 8 tel que tout tournoi d'ordre n ≥ K contient tout chemin Hamiltonien orienté.Alspach, Rosenfeld et Straight ont prouvé la conjecture de Rosenfeld pour les chemins à deux blocs.En 1973, Forcade a prouvé la conjecture de Rosenfeld dans le cas de tournois d'ordre 2^n. Thomason était le premier à donner une réponse générale. Il a proposé, en 1986, qu'il existe n_0≤2^128, tel que, pour tout entier n ≥ no, tout tournoi d'ordre n contient tout chemin Hamiltonien orienté. Il a encore démontré que tout ensemble de b_1+1 sommets dans un n-tournoi contient un origine de tout (n-1)-chemin ayant son premier bloc de longueur b_1.En 2000, Havet et Thomassé avaient amélioré cette idée-clé introduite par Thomasonet avaient démontré que tout tournoi T d'ordre n contient tout chemin P d'ordre n avec exactement les exceptions de Grünbaum. Pour tout z et y, deux sommets de T, ils ont defini s^+ (x,y) =|{z ∈V(T)┤ tel que z peut être atteint par un chemin direct d'origine x ou y} et ils ont prouvé que si s^+ (x,y) ≥ b_1+1, alors x ou y est un origine d'un tel chemin. Cette nouvelle idée-clé leur permet de remarquer que la démonstration de l'existence d'un n-1-chemin orienté dans un n-tournoi est équivalente à l'existence de tout chemin Hamiltonien P dans ce tournoi sauf si (T. P) est l'un parmi 69 exceptions qui étaient vérifiées l'une après l'autre. Leur preuve était longue et compliquée. Encouragé par la confiance de mon Professeur Amine El Sahili de l'existence d'une preuve simple et courte de la conjecture de Rosenfeld, j'ai prouvé durant l'année 2019, dans ma thèse de Master II, d'une manière simple, que tout tournoi d'order n ≥ 4 contient tout chemin à 2 blocs ou à 3 blocs. En 2020, après une année complète de travail dur, j'ai réussi à trouver deux preuves simples de la Conjecture de Rosenfeld. La première était la plus courte. J'ai utilisé un théorème établi par El Sahili et Ghazo Hanna qui m'a permis de réduire à moitié le nombre de cas que j'avais à étudier. Dans la deuxième preuve, j'ai étudié les cas restants que je n'ai pas étudiés dans la première preuve, ce qui m'a permis de donner une autre preuve de la conjecture de Rosenfeld sans utiliser le théorème donné par El Sahili et Ghazo Hanna. Dans le chapitre 1 de cette thèse, je donne quelques définitions, notations et propriétés qui seront utilisées pour lire la thèse. Dans le chapitre 2, je présente quelques résultats que j'ai trouvé en Master II. Ces résultats donnant une simple preuve de la conjecture de Rosenfeld dans les chemins orientés à deux et trois blocs étaient la source de lumière qui m'a aidé à généraliser ma preuve. J'ai encore démontré, en chapitre 2, que pour deux entiers positifs donnés a et b tel que a <b, il existe un tournoi T tel que {d^+ (v),v ∈ V(T)} = {a,b). Ce résultat est trouvé par K. B. Reid. Dans le chapitre 3, je donne ma première preuve de la Conjecture de Rosenfeld. On donne un tournoi T d'ordre n tel que δ^- (T) = i et un chemin orienté P= x_1…x_n. El Sahili et Ghazo Hanna ont prouvé que T contient P si et seulement si T contient P ̅. Tout d'abord, je démontre que T contient P si (x_i,x_(i+1) ) ∈E (P) sauf si TϵT_3,5,7 et P est un chemin antidirect. Sinon, (x_(i+1),x_1 ) ∈E (P). Puisque (x_i,x_(i+1) ) ∈E (P ̅), alors T contient P ̅. Par suite, par le théorème de El Sahili Ghazo Hanna, T contient P....