Thèse soutenue

Contributions aux inégalités matricielles et quelques applications
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Auteur / Autrice : Mohammad Mahdi Ghabries
Direction : Abdallah AssiHassane AbbasBassam Mourad
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 13/05/2022
Etablissement(s) : Angers en cotutelle avec Université Libanaise
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
Jury : Président / Présidente : Fuad Kittaneh
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Bourin
Rapporteurs / Rapporteuses : Minghua Lin

Résumé

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La théorie matricielle est à l'étude depuis longtemps, elle a été un outil fondamental dans les disciplines mathématiques présentant des problèmes intéressants et stimulants. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur une classe de matrices qui est l'ensemble de toutes les matrices semi-définies positives. Les sujets principaux sont les inégalités déterminantales, les inégalités aux valeurs propres et aux valeurs singulières et la moyenne géométrique de deux matrices définies positives. Ces concepts apparaissent dans de nombreux domaines de recherche et jouent un rôle décisif dans la théorie de l'information, la mécanique quantique et d'autres domaines mathématiques. Le point de départ de notretravail est les deux inégalités déterminantes non confirmées suivantes introduites par M. Lin (2017) pour toute matrice semi-définie positive A et B du même ordre : det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + Ap Bp) pour 0 ≤ p ≤ 2; det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + |BA|p) pour p ≥ 0. Nous avons montré que la seconde inégalité est vraie pour un plus grand ensemble de matrices ; Matrices hermitiennes. Nous avons également démontré un résultat plus général de la première inégalité énoncé comme suit : det(Ak + |AB|p) ≥ det(Ak + ApBp) pour k≥2,0≤p≤ 2 L'idée principale de la preuve est d'établir desrelations de log-majorisation, nous donnons également quelques applications pour ces relations, plus précisément une borne supérieure pour une inégalité de type Golden-Thompson établie par Hiai et Petz, et quelques nouveaux résultats liés aux divergences de Rényi. Plus de conjectures concernant les inégalités de valeurs singulières sont étudiées.