Equations de Schrödinger logarithmique avec dispersion singulière

Logarithmic Schrödinger equations with singular dispersion

• Auteur / Autrice : Mariem Abidi
• Direction : Olivier Goubet, Belhassen Dehman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/12/2022
• Etablissement(s) : Amiens en cotutelle avec Université de Tunis El Manar
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Mourad Bellassoued
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Moez Khenissi, Laurent Di Menza, Serge Dumont

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Ondes -- Propagation

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Résolution numérique

Opérateurs différentiels non linéaires

Méthode de Crank Nicolson

Edp

Schrödinger equation

Numerical resolution

Crank Nicolson's method

Nonlinear differential operators

Résumé

Le projet de thèse concerne la modélisation mathématique de la propagation d'ondes dans un milieu hétérogène. Les équations de Schrödinger non linéaires sont une famille d'équations aux dérivées partielles d'évolution qui servent de modèles à la propagation d'un faisceau laser, à la propagation d'une onde hydrodynamique à la surface d'une eau en grande profondeur. L'objet de la thèse est de comprendre l'influence de la modulation sur la propagation de l'onde. Nous considérerons ici des modulations non standard qui sont des perturbations du modèle original, pour prendre en compte l'hétérogénéité du milieu, la présence d'impuretés, provoquant des effets dispersifs différents. Le projet de thèse se décline comme suit: validation mathématique du modèle en démontrant qu'il est robuste via des résultats d'existence et de stabilité en temps long des solutions, mise en équations des modèles discrets idoines pour la simulation numérique (une attention particulière sera consacrée à l'étude des conditions aux limites du domaine de calcul), simulation sur machine du comportement des solutions. Les applications indirectes des résultats attendus sont des informations sur comment des variations de la modulation peuvent stabiliser la propagation (ce qui est surprenant mais attendu pour la propagation d'un faisceau laser dans un milieu hétérogène, où le Contexte Scientifique. Le contexte scientifique du sujet de recherche proposé provient de la physique théorique. Comment guider une onde laser par un guide d'onde constitué d'un matériau stratifié où dans les différentes couches du matériau l'indice de réfraction varie. Plus généralement comment un défaut (considéré comme une perturbation d'un milieu homogène) influence la propagation d'une onde dispersive. Depuis une décennie les chercheurs en mathématiques appliquées se sont appropriés le sujet. Les premiers travaux théoriques au-delà de ceux de Grenier et al. sont de de Antonelli et al. où sont considérées des dispersions constantes par morceaux ; la limite de dispersions oscillantes conduit à des dispersions aléatoires dans un certain régime (confer Debussche et al. ainsi que les références qui s'y trouvent, ainsi que Marty ; ce point ne sera pas développé ici). Pour des dispersions qui oscillent en temps, l'article référence est celui de Cazenave et al. quidé montrent une propriété de moyennisation des solutions. Le problème que nous considérons, lorsque l'intensité de la dispersion varie, reste encore à traiter, notamment du point de vue des simulations numériques. Comme dans les modèles de Schrödinger standard la gageure est de simuler sur un domaine de calcul fini une phénomène physique qui se produit dans l'espace entier. La construction de conditions aux limites adaptées au modèle (conditions aux limites transparentes) est un enjeu, bien maitrisé dans le cas des équations de Schrödinger linéaires (confer Antoine et al et les références qui s’y trouvent) ,mais encore en friche pour les autres phénomènes de dispersion

The thesis project concerns the mathematical modeling of wave propagation in a heterogeneous medium. The nonlinear Schrödinger equations are a family of partial differential equations of evolution that serve as models for the propagation of a laser beam, the propagation of a hydrodynamic wave on the surface of a water at great depth. The purpose of the thesis is to understand the influence of modulation on the propagation of the wave. We will consider here non-standard modulations that are disturbances of the original model, to take into account the heterogeneity of the medium, the presence of impurities, causing different dispersive effects. The thesis project outlines as follows: mathematical validation of the model by demonstrating that it is robust via results of existence and stability in long time of the solutions, putting in equations of the discrete models suitable for the numerical simulation (a particular attention will be devoted to the study of the boundary conditions of the domain of computation), numerical computations of the behavior of the solutions. Indirect applications of the expected results are information on how variations in the modulation can stabilize the propagation (which is surprising but expected for the propagation of a laser beam in a heterogeneous medium, where the refraction coefficient varies)