Cryptanalyse algébrique des systèmes à base de courbes hyperelliptiques

Algebraic cryptanalysis of hyperelliptic curves based systems

• Auteur / Autrice : Sulamithe Tsakou
• Direction : Gilles Dequen, Sorina Ionica
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/12/2022
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Modélisation, Information et Systèmes (Amiens ; 2008-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierrick Gaudry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sélestin Ndjeya
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Damien Robert, Mohab Safey El Din

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cryptographie

Logarithmes discrets

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Cryptanalyse

Logarithme discret

Cryptanalysis

Elliptic curves

Discrete Logarithm

Résumé

Dans cette thèse, nous présentons des attaques algébriques sur des schémas cryptographiques. Nous nous intéressons en particulier au problème du logarithme discret sur le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique ou sur la Jacobienne d'une courbe hyperelliptique de genre g ≥ 2 définie sur des extensions de corps. Pour résoudre ce problème, les cryptanalystes utilisent l'algorithme du calcul d'indices qui se fait en 4 étapes: le choix d'une base de factorisation appropriée, l'étape de recherche de relations, la phase d'algèbre linéaire et la phase de descente. L'étape cruciale est l'étape de recherche de relations qui aboutit souvent à la résolution de systèmes polynomiaux aléatoires multivariés. Le plus souvent, la résolution de ces systèmes se fait en utilisant les bases de Gröbner. La complexité du calcul des bases de Gröbner d'un système polynomial est mesurée par le solving degree de ce système qui est le degré maximal des polynômes intervenant dans le calcul de sa base de Gröbner. Tout d'abord, nous donnons de meilleures bornes sur la complexité du calcul des bases de Gröbner des systèmes polynomiaux surdéterminés provenant de la cryptographie. Ensuite, nous exploitons les endomorphismes et les points de 2-torsion de plusieurs courbes elliptiques et hyperelliptiques de genre g ≥ 2 pour réduire la taille de la base de factorisation en vue d'améliorer la complexité du calcul d'indices

In this thesis, we present algebraic attacks on cryptographic schemes. In particular, we are interested in the discrete logarithm problem on the group of the rational points of an elliptic curve or on the Jacobian of a hyperelliptic curve of genus g ≥ 2 defined over field extensions. To solve this problem, the cryptanalysts use the index calculus algorithm which has 4 steps: the choice of an appropriate factorization base, the relations search step, the linear algebra step and the descent phase. The crucial phase is the relations search step which often boils down to the resolution of random multivariate polynomial systems. Most often, the resolution of these systems is done by using Gröbner basis. The complexity of the computation of a Gröbner basis of a polynomial system is measured by the solving degree of this system which is the greatest degree of polynomials occurring in the computation of its Gröbner basis. First, we give tight bounds on the solving degree of overdetermined polynomial systems coming from the cryptography. Afterwards, we exploit the endomorphisms and the 2-torsion points of several elliptic and hyperelliptic curves of genus g ≥ 2 to reduce the size of the factorization basis in order to improve the complexity of the index calculus algorithm