Sur des propriétés stochastiques de la variation de la somme des chiffres en additionnant un entier fixé

On stochastic properties of the variation of the sum-of-digits function when adding a given integer

• Auteur / Autrice : Yohan Hosten
• Direction : Élise Janvresse, Thierry De la Rue
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Fabien Durand
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Durieu, Karma Dajani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Hubert, Michael Drmota

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorème de la limite centrale

Mots clés libres

Théorème central limite

Odomètre

Fonction somme des chiffres

Représentation de Zeckendorf

Processus mélangeant

Central limit theorem

Odometer

Sum-Of-Digits function

Zeckendorf representation

Mixing process

Résumé

Le sujet de cette thèse vise à mieux comprendre les propriétés de la mesure de probabilité associée aux densités asymptotiques d'ensembles définis par la fonction somme des chiffres en base entière et non entière. Plus précisément, si on se donne un entier 'r', on s'intéresse aux ensembles d'entiers 'n' tels que la différence entre la somme des chiffres de 'n' et de 'n + r' est un entier relatif 'd' fixé. La densité asymptotique 'mu^{(r)}(d)' de ces ensembles peut être interprétée comme une mesure de probabilité sur les entiers. Évidemment, elle dépend du système de numération considéré. Dans cette thèse, nous établissons des propriétés de la mesure de probabilité 'mu^{(r)}', en base entière et en représentation de Zeckendorf. Pour cela, nous faisons le lien entre ces propriétés et certains systèmes dynamiques sous-jacents. En base entière, nos montrons notamment un théorème central limite. Nous généralisons certaines propriétés de 'mu^{(r)}' en représentation de Zeckendorf et proposons un algorithme de calcul de 'mu^{(r)}'

The subject of this thesis aims to better understand the properties of the probability measure associated with asymptotic densities of sets defined by the digit sum in an integer base and not integer. More precisely, if we give ourselves an integer 'r', we are interested in sets of integers 'n' such that the difference between the sum of the digits of 'n' and 'n + r' is a fixed integer 'd'. The asymptotic density 'mu^{(r)}(d)' of these sets can be interpreted as a probability measure on the integers. Obviously, it depends on the numeration system we consider. In this thesis, we describe properties of the probability measure 'mu^{(r)}', in integer base and Zeckendorf representation. To do so, we make the link between these properties and some underlying dynamical systems. In integer base, we establish in particular, a central limit theorem. We generalise some properties of 'mu^{(r)}' in Zeckendorf representation and give an algorithm to compute 'mu^{(r)}'