Thèse soutenue

Équations de Saint-Venant avec effets rotatifs et thermiques : aspects théoriques et schémas numériques

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Auteur / Autrice : Alice Masset
Direction : Olivier GoubetVivien Desveaux
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 07/12/2022
Etablissement(s) : Amiens
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
Jury : Président / Présidente : Paul Vigneaux
Examinateurs / Examinatrices : Nabil Bedjaoui, Nina Aguillon, Christophe Chalons
Rapporteurs / Rapporteuses : Carine Lucas, Nicolas Seguin

Résumé

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Dans cette thèse, on étudie de façon théorique et numérique le système des équations de Saint-Venant en prenant en compte la force de Coriolis et les effets thermiques. La première partie est dédiée à la dérivation du modèle à partir des équations primitives, et à l'étude générale de ses propriétés. Dans la deuxième partie, on s'intéresse au problème de Cauchy, i.e à la question de l'existence et de l'unicité d'une solution des équations. Pour cela, on propose d'utiliser deux techniques de démonstration : l'une fondée sur l'ajout d'un terme diffusif, l'autre utilisant une suite de problèmes hyperboliques linéaires à résoudre. On étudie plus en détail les méthodes de symétrisation qui permettent d'établir des estimations a priori indispensables pour obtenir la régularité souhaitée de la solution. Sur le plan numérique, l'objectif majeur consiste à préserver les états stationnaires du modèle en proposant des schémas dits well-balanced. C'est l'objet de la troisième partie. On commence par rappeler le principe des schémas de type Godunov pour des systèmes hyperboliques 1D avec terme source. On propose ensuite une stratégie de construction de solveurs de Riemann approchés, qui aboutit à l'obtention de trois schémas préservant toutes les solutions stationnaires. On considère également une méthode de montée en ordre pour améliorer leur précision. De nombreux cas-test sont proposés pour valider la prise en compte de chacune des spécificité du modèle, et comparer les performances des schémas. Enfin, le dernier chapitre concerne l'extension de ces schémas en deux dimensions d'espace, toujours avec l'objectif de préserver le maximum d'états stationnaires. Là encore, une meilleure précision est obtenue en augmentant l'ordre des schémas, et des exemples numériques viennent illustrer leurs propriétés