Complexité définie comme une mesure des chemins conduisant à une certaine notion de régularité

Complexity as a measure of paths to regularity

• Auteur / Autrice : Andrea Arlette España
• Direction : Xavier Leoncini, Edgardo Ugalde
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique et mathématique
• Date : Soutenance le 04/11/2022
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Universidad Autónoma de San Luis Potosí
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (CPT) (Marseille ; Toulon)
• Jury : Président / Présidente : Gelasio Salazar Anaya
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gabriela Araujo, Leticia Ramirez, Olivier Agullo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bastien Fernandez, Stefanella Boatto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Synchronisation

Théories non linéaires

Mots clés libres

Non linéarité

Synchronisation

Laplacien

Modèle de Kuramoto

Non-Linearity

Synchronization

Laplacian

Kuramoto model

Résumé

Dans cette thèse, une manière de quantifier la synchronisation d'un système est introduite. Il est réalisé à partir d'une codification des chemins vers la synchronisation pour les flux de synchronisation définis sur un réseau. L'ensemble des chemins vers la synchronisation définit une structure combinatoire, appelée \textit{le diagramme de transition}, principal objet d'étude. La cardinalité de cette collection définit une mesure de complexité qui dépend de la dimension du système.Le diagramme de transition correspondant au flux laplacien sur le graphe complet K_N et le graphe complet biparti K_{N,N} est décrit, à travers un codage : les états réalisables par des fonctions croissantes, et les transitions entre eux par des fonctions consécutives qui suivent certaines règles. Ces résultats sont appliqués au flux de Kuramoto (sur le même graphe) lorsqu'un voisinage proche de la diagonale est considéré. De plus, il se généralise aux flux monotones (c'est-à-dire que ses coordonnées et les différences de coordonnées maintiennent l'ordre). On présente également quelques résultats numériques et analytiques concernant les flux Laplacien et de Kuramoto sur le graphe cyclique C_N, et la famille de réseau d'anneaux C(N,k). Dans ce cas, il existe une perspective différente, en raison de leur comportement non monotone.

In this thesis, a way to quantify the synchronization of a system is introduced. It is made from a codification of the paths towards synchronization for synchronizing flows defined over a network. The collection of paths toward synchronization defines a combinatorial structure, called \textit{the transition diagram}, the main object of study. The cardinality of this collection defines a measure of complexity which depends on the dimension of the system.The transition diagram corresponding to the Laplacian flow over the complete graph K_N and the complete bipartite graph K_{N,N} is described, through a coding: the feasible states by increasing functions, and the transitions between them by consecutive functions that follow certain rules. These results are applied to the Kuramoto flow (over the same graph) when a neighborhood close to the diagonal is considered. Furthermore, it generalizes to flows that are monotonic (that is, its coordinates and the differences of the coordinates maintain the order). It is presented as well some numerical and analytical results concerning the Laplacian and Kuramoto flows over the cycle graph C_N, and the ring lattice family C(N,k). In this case there are a different perspective, due to their no-monotonic behavior.