Invariance de jauge dans les automates cellulaires classiques et quantiques

Gauge invariance in classical and quantum cellular automata

• Auteur / Autrice : Nathanaël Eon
• Direction : Pablo Arrighi, Giuseppe Di Molfetta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 05/09/2022
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d’Informatique et Systèmes (Marseille ; La Garde, Var ; 2018-….)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Sené
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Irène Marcovici, Pablo Arnault, Omar Fawzi, Paolo Perinotti, Guillaume Theyssier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Armando Perez, Mari Carmen Bañuls

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation quantique

Électrodynamique quantique

Invariance de jauge

Automates cellulaires

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Automate cellulaire

Invariance de jauge

Électrodynamique quantique

Simulation quantique

Dynamical systems

Cellular automata

Gauge invariance

Quantum electrodynamics

Quantum simulation

Résumé

L'invariance de jauge est un concept fondamental en physique, servant de fondement mathématique à la dérivation des interactions fondamentales. Dans cette thèse, la notion d'invariance de jauge est formalisée dans le cadre des automates cellulaires (AC).Cette formalisation offre un chemin simple et direct vers les concepts essentiels de la symétrie de jauge. Usuellement, une symétrie de jauge est tout d'abord motivée par l'existence d'une symétrie globale. La théorie est ensuite étendue de sorte que cette symétrie devienne locale. Les AC permettent de formaliser ce processus d'extension de jauge. Nous montrons dans cette thèse l'équivalence entre l'existence d'une symétrie globale et l'existence d'une extension de jauge dite ''relative''. L'universalité des AC invariants de jauge est ensuite démontrée.Dans le cadre des automates cellulaires quantiques, nous utilisons ici l'invariance de jauge pour parvenir à une formulation en espace-temps discret de l'électrodynamique quantique (EDQ) en trois dimensions d'espace. Elle prend la forme d'un circuit quantique, se répétant à l'infini dans l'espace et le temps, paramétré par un pas de discrétisation relativiste \Delta_t=\Delta_x. Cette construction suit la logique qui amène à la définition du Lagrangien pour l'EDQ. C'est-à-dire qu'elle démarre par une marche quantique de Dirac, dont la convergence vers des fermions relativistes libres est connue. Puis cette marche est étendue au cas multi-particules à travers un automate cellulaire quantique de sorte que les relations d'anti-commutation des fermions et l'invariance de jauge soient respectées. Finalement, une dynamique électromagnétique est donnée au champ de jauge.

Gauge invariance is a fundamental concept in Physics, known to provide mathematical justification for the fundamental forces. In this thesis, gauge invariance is brought to the realm of classical and quantum cellular automata (CA). In a classical setting, it provides a simple yet rigorous route straight to the core concepts of gauge theories. Usually, gauge theories are built from a theory featuring a global symmetry, which is then extended to make the symmetry a local one (a.k.a. gauge-invariant). CA allows for this gauge extension process to be made formal. We show the equivalence between the pre-existence of a global symmetry and the ability to perform a ''relative'' gauge extension. Moreover, gauge invariant cellular automata are shown to be universal. In the framework of quantum cellular automata (QCA), we use gauge invariance to construct a discrete spacetime formulation of 3+1 quantum electrodynamics (QED). It takes the form of a quantum circuit, infinitely repeating across space and time, parameterized by the relativistic discretization step \Delta_t=\Delta_x. The construction replays the logic that leads to the QED Lagrangian. Namely, it starts from the Dirac quantum walk, well-known to converge towards free relativistic fermions. It then extends the quantum walk into a multi-particle sector quantum cellular automata in a way which respects the fermionic anti-commutation relations and the discrete gauge invariance symmetry. Lastly the gauge field is given its own electromagnetic dynamics.