Sur l'entropie du cœur pour la famille cosinus

On core entropy for cosine family

• Auteur / Autrice : Roman Chernov
• Direction : Dierk Schleicher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 11/01/2022
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Arnoux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Feliks Przytycki, Anna Zdunik
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michał Misiurewicz, Anna Miriam Benini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions d'une variable complexe

Géométrie

Trigonométrie

Fonction du plus grand entier

Mots clés libres

Entropie du cœur

Cosinus

Fonction entière

Dynamique transcendante

Core entropy

Cosine map

Entire function

Transcendental dynamics

Résumé

L'entropie topologique est connue pour être une mesure de la complexité d'un système dynamique donné par l'itération d'une fonction continue. Pour les fonctions complexes dans tous les cas étudiés, elle s'avère constante, donc dans la dynamique complexe un autre concept est pris en compte, le concept d'entropie du cœur. Pour les polynômes complexes, l'entropie du cœur peut être considérée comme l'entropie topologique restreinte à l'arbre de Hubbard. Dans cette thèse, nous généralisons la notion d’entropie du cœur pour la famille transcendante des fonctions cosinus \lambda \cos z avec \lambda \in \C tel que la fonction ait des orbites critiques bornées. Nous montrons que dans tout espace de fonctions cosinus avec une combinatoire uniformément bornée, l'entropie du cœur est uniformément bornée et continue. Cependant, dans l'espace global des paramètres complexes, l'entropie du cœur est illimitée même localement : dans un voisinage de chaque paramètre \lambda \in \R tel que \lambda\ge 1 nous trouvons une séquence de paramètres périodiques tendant vers \lambda avec l'entropie du cœur tendant à \infty.

Topological entropy is known to be a measure of complexity of a dynamical system given by iteration of a continuous map. For complex maps in all studied cases it turns out to be constant, so in complex dynamics another concept is considered, the concept of so-called core entropy. For complex polynomials the core entropy can be viewed as the topological entropy restricted to the Hubbard tree.In this thesis, we generalize the notion of core entropy for the transcendental family of cosine maps \lambda \cos z with \lambda \in \C such that the map has bounded combinatorics. We show that in every space of cosine maps with uniformly bounded combinatorics core entropy is uniformly bounded and continuous. However, in the global complex parameter space core entropy is unbounded even locally: in a neighborhood of every parameter \lambda \in \R such that \lambda\ge 1 we find a sequence of periodic parameters tending to \lambda with core entropy tending to \infty.