Perturbation aléatoire de certains systèmes de particules en interaction, liés à la mécanique quantique

Random Perturbation of Certain Interacting Particle Systems related to Quantum Mechanics

• Auteur / Autrice : Amirali Hannani
• Direction : Stefano Olla
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 16/12/2021
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Lewin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefano Olla, Mathieu Lewin, Herbert Spohn, Cédric Bernardin, François Huveneers, Wojciech De Roeck, Marielle Simon, Serena Cenatiempo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Herbert Spohn, Cédric Bernardin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lagrange, Équations de

Conductivité thermique

Mécanique ondulatoire

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Limite hydrodynamique

Equation de Schrödinger non linéaire discrète

Grandes Déviations

Diffusion hypoelliptique

Ondes solitaires

Processus stochastiques

Décroissance de la corrélation

Localisation d’Anderson

Conductivité thermique

Équation d’Euler

Équation de Schrödinger non-linéaire

Hydrodynamic limit

Discrete Nonlinear Schrodinger Equation

Anderson Localization

Large Deviations

Hypoelliptic diffusion

Solitary waves

Stochastic processes

Non-linear Schrödinger equation

Decay of correlation

Thermal conductivity

Hydrodynamic limits

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la perturbation aléatoire de deux modèles de systèmes de particules en interaction, liés à la mécanique quantique. Le premier est une chaîne désordonnée unidimensionnelle d’oscillateurs harmoniques quantiques, où une limite hydrodynamique dans l’échelle hyperbolique du temps et de l’espace est prouvée ; l’élongation, la quantité de mouvement et l’énergie convergent vers la solution de l’équation d’Euler dans cette échelle. Dans le deuxième modèle, une perturbation stochastique conservant la masse d’une certaine classe d’équations de Schrödinger non-linéaires discrètes est introduite, modélisant l’action d’un bain de chaleur à une température donnée. La mesure de Gibbs correspondante est la seule mesure invariante de la dynamique, fournissant des propriétés d’ergodicité et de mélange temporel. En guise d’application, on étudie la limite de grand temps, l’approximation du continuum, et la limite de basse température dans le cas cubique unidimensionnelle focalisant.

This thesis is devoted to the study of random perturbation of two models of interacting particle systems related to quantum mechanics. First is a one-dimensional disordered chain of quantum harmonic oscillators, where a hydrodynamic limit inthe hyperbolic scaling of time and space is proven; elongation, momentum, and energy converge to the solution of the Euler equation in this scaling.In the second model, a mass conserving stochastic perturbation of a certain class of discrete non-linear Schrödinger equations is introduced, modeling the action of a heat bath at a given temperature. The corresponding Gibbs measureis the unique invariant measure of the dynamics, providing ergodicity and time-mixing properties. As an application, it is proved that in the one-dimensional cubic focusing case, the large time, continuum approximation, and the low-temperature limit of the solution converges to the steady wave of the continuous non-perturbed equation that minimizes the energy fora given mass.