Thèse soutenue

Application du Transport Optimal Entropique à l'Optique Anidolique

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Auteur / Autrice : Giorgi Rukhaia
Direction : Jean-David BenamouWilbert IJzerman
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 23/11/2021
Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
Equipe de recherche : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France)
Jury : Président / Présidente : Quentin Mérigot
Examinateurs / Examinatrices : Jean-David Benamou, Wilbert IJzerman, Quentin Mérigot, Bruno Lévy, Bernhard Schmitzer, Roya Mohayaee
Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Lévy, Bernhard Schmitzer

Résumé

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Dans ce travail, nous abordons un problème inverse en optique anidolique consistant à déterminer une surface capable de réfléchir une distribution de lumière source à une distribution cible en champ lointain, toutes deux prescrites. La source lumineuse peut être ponctuelle ou étendue. Lorsque la source est une source ponctuelle, la distribution est supportée uniquement sur les directions des rayons optiques. Dans ce contexte, le problème inverse est bien posé pour des distributions de probabilité source et cible arbitraires. Il peut être reformulé comme un problème de transport optimal et constitue un exemple célébré de transport optimal sous un coût de déplacement non euclidien. Nous explorons l’utilisation du transport optimal entropique et de l’algorithme Sinkhorn associe pour le résoudre numériquement. La modélisation duréflecteur étant basée sur les potentiels de Kantorovich, plusieurs questions se posent. Premièrement, sur la convergence de l’approximation entropique discrète et nous suivons ici les travaux récents de Berman et en particulier les exigences de discrétisation qui y sont imposées. Deuxièmement, nous montrons que la correction du biais induit par le transport entropique Optimal peut être atteinte en utilisant la notion récente de divergences Sinkhorn. Pour le problème de source ponctuelle, nous discutons des outils mathématiques et numériques nécessaires pour produire et analyser les résultats numériques obtenus. Nous trouvons que l’algorithme Sinkhorn peut être adaptée à la résolution du problème de la source ponctuelle au réflecteur en champ lointain. Nous ne connaissons pas de formulation mathématique similaire dans le cas de la source étendue : la distribution de lumière source a support sur l’espace produit: domaine physique-directions des rayons. Nous proposons de tirer parti de la formulation variationnelle bien posée du problème de source ponctuelle pour construire une paramétrisation lisse du réflecteur et de l’application modélisant la réflexion. Sous cette paramétrisation, nous pouvons construire une fonction de cout lisse à optimiser pour trouver la meilleure solution dans cette classe de réflecteurs. Les deux étapes, la paramétrisation et la fonction de coùt, sont liées à des distances de transport entropiques optimales. Nous profitons également des progrès récents des techniques d’optimisation et des implémentations efficaces de l’algorithme Sinkhorn pour realiser une étude numérique.