Multi-allelic Moran models and quasi-stationary distributions
Modèles de Moran multi-alléliques et distributions quasi-stationnaires
Résumé
The main goal of this thesis is to study the evolution of a multi-allelic Moran model, which is a continuous-time discrete state Markov process, inspired by biological applications. We study, among many other aspects, the relation between the Moran process, understood as an interacting particle system, and the theory of quasi-stationary distributions. More precisely, we prove the existence of a propagation of chaos phenomenon when the population size is large, and we study the quantitative control for the long time convergence to stationarity by spectral arguments. The main results are divided in three chapters. In the first chapter we show that the empirical probability measure induced by the particle system converges, when the number of particles goes to infinity, to the law of an absorbing Markov process conditioned to non-absorption. Furthermore, we establish a control on this convergence, by proving a uniform in time propagation of chaos. We also prove the asymptotic normality of the bias and we provide an explicit expression for the asymptotic variance, which is later used to define another particle system with smaller quadratic error. In the second chapter, we consider a simpler model where the state space is finite and the killing rate is uniform. In this context we find an explicit expression for the spectrum of the particle system generator in terms of the spectrum of the mutation rate matrix. Moreover, we study the ergodicity of the process and, for a particular mutation scheme, which is the parent independent mutation, we are able to prove the existence of cutoff phenomena in the total variation and chi-square distances. The third chapter is devoted to the study of a particular case, where the mutation process is driven by an asymmetric random walk on the cycle graph. We show that this model has a remarkable exact solvability, despite the fact that it is non-reversible with non-explicit invariant distribution.
L'objectif principal de cette thèse est d'étudier l'évolution, en temps long et pour une grande taille de population, des modèles de Moran multi-alléliques, qui sont des processus de Markov à temps continu et à espace discret, inspirés de modèles mathématiques pour la biologie. Nous nous intéressons à l'étude, entre autres aspects, de la relation entre le processus de Moran, compris comme un système de particules en interaction, et la théorie des distributions quasi-stationnaires. Plus précisément, nous exhibons des phénomènes de propagation du chaos lorsque la taille de la population est grande, et nous établissons des contrôles quantitatifs de la convergence en temps long vers l'équilibre. Les principaux résultats sont divisés en trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous montrons que la mesure de probabilité empirique induite par le système de particules converge, lorsque la taille de la population est grande, vers la loi d'une chaîne de Markov absorbante conditionnée à ne pas être absorbée. De plus, nous établissons un contrôle de cette convergence, en prouvant une propagation du chaos uniforme en temps. Nous prouvons également la normalité asymptotique du biais et nous fournissons une expression explicite pour la variance asymptotique, utilisée ensuite pour définir un autre système de particules avec une erreur quadratique plus petite. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un modèle plus simple où l'espace d'état est fini et le taux de mortalité est uniforme. Dans ce contexte, nous trouvons une expression explicite pour le spectre du générateur du système de particules en termes de spectre de la matrice des taux de mutation. De plus, nous étudions l'ergodicité du processus et, pour un schéma particulier de mutation, mutation indépendante des parents, nous sommes en mesure de prouver l'existence de phénomènes de cutoff pour les distances de variation totale et chi-deux. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'un cas particulier, où le processus de mutation correspond à une marche aléatoire asymétrique sur le graphe cyclique. Nous montrons que ce modèle possède une solvabilité remarquable, malgré le fait qu'il soit non-réversible avec une distribution invariante non-explicite.
Origine : Version validée par le jury (STAR)